Всем привет! Продолжаем разбирать ЕГЭ десятилетней выдержки! Сегодня система (!) неравенств (!):
Вот это монстр! Сегодня данную задачу извели до одного неравенства, причем подобного тому, что стоит в первой строчке. Конечно, решить систему не сложно, оба неравенства простые. Но что-то мне подсказывает, что не всякий одиннадцатиклассник с этим справится.
Ну, довольно демагогии, давайте уже решим первое неравенство:
Сначала, конечно, свойства степеней:
Затем введем замену:
Теперь все выглядит совсем нестрашно:
Вспомним, что t всегда положительное, значит на него можно умножить неравенство:
Перенесем все в одну сторону:
Найдем корни, можно и методом переброски, но сегодня рассмотрим дискриминант:
Главное не считать все "в лоб":
Какие же у нас корни? Глянем:
Выставим на числовую прямую и расставим знаки:
Вернемся к иксам:
Ответ на первое неравенство:
Получилось довольно просто, давайте займемся вторым:
Здесь стоит записать ограничения на переменную:
Воспользуемся свойствами логарифма, переходом к новому основанию в левой части и логарифмом произведения в правой:
В знаменателе дроби еще один логарифм произведения, да еще два логарифма можно просто вычислить:
Получили, что тут и там один и тот же логарифм. Заменим его для простоты восприятия:
Получим простое дробно-рациональное неравенство:
Преобразуем:
Приведем к общему знаменателю:
Раскроем скобки и приведем подобные:
Тут корни легко найти по формулам Виета. Разложим числитель на множители:
Получаем точки -1, -2, -3, которые мы вынесем на числовую прямую:
Запишем ответ для p:
Вернемся к иксам:
Стоит оговориться, что и в первом, и во втором неравенстве переход от новой переменной к старой происходит без проблем, потому что мы заменяли монотонно возрастающие функции.
Теперь нужно как-то ответы пересечь. И если числа рациональные мы легко сравним, то с логарифмом нужно чутка попотеть. Заметим, что он меньше 1/2:
И больше 1/4:
Тогда картинка будет такой:
Запишем ответ на систему неравенств:
Кто-то может сказать, что мол неравенства простые. Однако, в данном задании два неравенства, к тому же нетривиальное иррациональное число, которое нужно сравнивать с другими числами (хорошо рациональными). Все это (и другие нюансы), особенно на экзамене, могут стать непосильной задачей для среднего школьника.
Спасибо за внимание, до скорой встречи! Дальше планиметрия!
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!