Нет на самом деле я конечно с удовольствием доказал бы обратное. Собирался я сделать именно это, но так уж получилось что когда доказываешь обратное, иногда получается доказательство от противного. Вот на этого противного мы и посмотрим. Итак для начала что очевидно отметаем:
1. Все пирамиды постоянной ширины, кроме тетраэдра нам не подойдут потому что чем больше вершин тем ближе тело к телу вращения треугольника Рёло, а оно, понятно имеет больший объём при заданной ширине.
2. Все тела постоянной ширины построенные на многогранниках Рёло большей размерности чем тетраэдр стремятся по одному параметру к телам вращения, по второму к сфере. И также очевидно имеют больший объем при заданной ширине.
3. Все треугольные пирамиды со скругленными вершинами поскольку они также стремятся к сфере при увеличении размера скругления.
То-есть наименьшим объемом при заданной ширине очевидно является моноширинный тетраэдр все вершины которого являются центрами кривизны противоположных стенок. Ну то есть не имеющий скругленных вершин. Это мы пришли к предположению о том что это все таки тело Мейснера. Осталось доказать что такие вершинные тетраэдры помимо тел Мейснера невозможны.
Мне, как я уже писал, хотелось доказать что возможно построить такое тело, и как человек логичный и с хорошим воображением я предположил следующее: "Если мы не можем отрезать от тетраэдра Рёло больше со стороны, одного ребра, попробуем отрезать от обоих противоположных ребер."
И действительно, построим отрезок центр которого совпадает с центром базового тетраэдра, а длина равна длине стороны тетраэдра. Понятно что это максимум сколько мы можем отрезать от двух ребер, крайняя точка, все остальное будет между телом Мейснера и тем что мы получим.
Те кто читал вторую часть статьи о построении моноширинного тетраэдра с двумя скругленными вершинами уже догадались что ничего у нас не получится. Но я её не читал, я её писал, причем позже нижеописанных действий.
Теперь найдем центр окружности проходящей как через вершину отрезка, так и через два угла тетраэдра, Причем мы можем это сделать с любой стороны, получим две зеркальные точки.
Тут все понятно, проводим перпендикуляры из центров отрезков, ищем пересечения, если кому интересно как это сделать в Blender, без сложных расчетов, пишите в комментарии, покажу.
Теперь строим моноширинное сечение будущего тела, в соответствии с этим центром кривизны.
Вот, красиво не правда ли, все сошлось, точечка в точечку, ровно посередине, И таких сечений мы можем легко сделать все 6 штук, и даже положить треугольники Рёло на каждую грань.
И получится вот такая красота, кажется что все, осталось немного закрыть пространство и ура, абсолютно правильный моноширинный тетраэдр готов. Нарисовав такую картинку у себя в голове я приступил к кропотливому труду формирования поверхности. Но как? Ну как? А тем же способом, нашел еще один центр кривизны, для этого центра кривизны и двух соседних вершин тетраэдра, провел дугу окружности, объявил её кривой центров кривизны принялся строить сечения для каждого угла.
Вон их сколько, целая куча сечений, сразу объединял их по 2, на угол и минус угол, сечения то одинаковые, и вот вожделенный момент, собрал все во едино. Еще пару часов времени и вот он, красавец:
Счастью моему не было бы предела ели бы не одно но:
Красавец не выпуклый, а значит и не моноширинный ;). Но бледнолицый брат не был бы бледнолицым братом если бы игнорировал другую сторону граблей. А что? А Вдруг?
Видите этот лук? Это точки центров кривизны, для каждой точки на закруглении сечения я строил центр окружности проходящей через него и две ближайшие вершины. Тут мне повезло больше:
Центр кривизны просто ушел за кривую показав что и так ничего бы у меня не закрылось. А теперь вспоминаем теорему: если мы смещаем расстояние до центра кривизны, получить моноширинную фигуру не получится, потому что потеряется центр кривизны, и максимальное расстояние начнет считаться между другими точками. Соответственно и фигура перестанет быть моноширинной, и тело которое из этих фигур состоит. Таким образом невозможно построить моноширинный тетраэдр объем которого был бы меньше чем объем тел Мейснера той же ширины. Теорема доказана :).
