Всем добрый день! Продолжаем разбирать ЕГЭ десятилетней выдержки. Сегодня — стереометрия. И надо сказать, она изменилась!
Сразу бросается в глаза то, что в задаче всего один пункт. В нынешнем ЕГЭ пунктов два и дают за них три балла!
Ну давайте решать, начнем с рисунка:
Назовем искомый угол α. Можно решать задачу чисто геометрически, но мы воспользуемся интересным свойством:
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекций.
В нашем случае:
Ищем две площади — получаем угол, все элементарно!
Площадь треугольника ABC найдется просто:
Стороны у нас известны и равны единице, а угол равен 60°:
Можно, конечно, использовать "специальную" формулу для правильного треугольника, но зачем запоминать лишнее.
Во втором треугольнике мы легко найдем стороны по теореме Пифагора:
А значит площадь посчитается по формуле Герона! Найдем полупериметр:
Вспомним формулу:
Осталось посчитать:
Найдем косинус искомого угла:
Тогда угол между плоскостями будет:
В сравнении со стереометрией этого года — задача очень легкая, можно считать, что стереометрию за десять лет усложнили.
Если Вам интересно, то посмотрите, какая задача была на неравенства в 2012 году:
Спасибо за внимание, до скорой встречи!
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!