Всем привет! Следующая порция заданий из ЕГЭ-2012, сегодня на очереди планиметрия:
Первым делом, конечно, набросаем рисунок. Если хорошенько подумать, то в задаче может быть две ситуации. В первом случае обе окружности касаются основания, во втором случае одна окружность касается основания, а вторая касается боковых сторон. Разберем первый случай:
Запишем дано:
Очевидным образом можно найти HC:
Заметим, что треугольники BHC и ANC прямоугольные с одним общим углом. Получается, что эти треугольники подобны, а HC : BC так же, как AN : AC. Из этого факта легко получить, что AC = 25. Отметим, что треугольники, в которые мы вписали окружности равны:
Поэтому достаточно рассмотреть только один треугольник. Найдем AN:
Как найти радиус вписанной окружности? У нас тут есть все стороны, поэтому можно попробовать через площадь. Найдем площадь треугольника:
С другой стороны, площадь треугольника это:
Посчитаем полупериметр:
И подставим все в формулу:
Радиус найден, первый случай рассмотрен! Давайте посмотрим на второй случай:
Идея будет заключаться в том, что все отрезки на AB мы выразим через радиус окружности. Например, с MK все элементарно:
С помощью угла BAN расправимся с отрезком AK. Запишем тангенс:
Но с другой стороны:
Тогда AK равно:
Простая часть закончилась, попробуем что-то подобное провернуть с BM:
Но как найти этот тангенс? Воспользуемся тем, что окружность вписанная в угол лежит на биссектрисе, тогда:
А тангенс двойного угла хорошо раскладывается по формуле:
Давайте заменим тангенс, чтобы глазу приятнее было:
Решаем квадратное уравнение:
Отрицательный тангенс нас не устроит, ведь мы наверняка знаем, что угол у нас острый:
Нашли тангенс, выразим BM:
Теперь можно сложить все выраженные отрезки и получить AB:
Решим уравнение:
Со вторым случаем справились. Вот такая задача. На мой взгляд сейчас геометрия проще. Редко встречаются задачи, в которых нужно рассмотреть два случая. С другой стороны сегодня в геометрической задаче два пункта, что тоже может вызвать трудности.
Спасибо за внимание, до скорой встречи! Скоро разберем параметр!
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!