Сегодня мы рассмотрим задание №4586 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «повышенного» уровня сложности, хотя, реально оно совсем несложное, и вполне по силам ученикам невысоких способностей. Однако, оно демонстрирует один интересный приём, который может применяться в решении систем нескольких уравнений с несколькими неизвестными, и разбор его будет весьма полезен.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
В цилиндрический сосуд налили 50 куб.см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб.см.
Рассуждаем
Поскольку в условии задан цилиндрический сосуд, и его содержимое, хотя и изменяется, но остаётся цилиндром, надо вспомнить формулу объёма цилиндра:
Кроме того, из физики известно, что объем вытесненной телом жидкости при погружении равен объёму погружённого тела. Следовательно, после погружения объем содержимого в сосуде будет равен сумме первоначального объёма воды и объёма погружённой детали. В обоих случаях этот объем будет иметь цилиндрическую форму. Следовательно, можно будет составить систему двух уравнений, отвечающих начальному и конечному объёму.
Здесь есть важная тонкость. В этой системе будет три неизвестных (площадь снования, начальная высота жидкости, объем детали), однако, два из них – площадь основания и первоначальный уровень жидкости – будут везде стоять в произведении. А это позволяет считать единой переменной. Останутся два простых линейных уравнения с двумя неизвестными, которые будет несложно решить.
План решения
- Учтём, что конечный объем равен сумме объёма воды и детали, и применим формулу объёма цилиндра для начальной и конечной ситуации.
- Составим систему, описывающую объем в начальной и конечной ситуации.
- Произведение площади основания на начальную высоту рассмотрим, как единую переменную, вторая переменная – объем детали.
- Решим систему и найдём объем детали.
Решение.
Объём цилиндра равен:
В первом случае это объем только воды, и начальная высота.
Во втором случае это сумма объёмов воды и детали, а высота составит 1.2h.
В итоге мы имеем систему из двух уравнений:
Решаем её. Вынесем коэффициент во втором уравнении вперёд:
Произведение площади основания на высоту считаем единой переменной, и она известна из первого уравнения, она равна 50. Подставляем:
Откуда получаем:
И окончательно:
Замечание.
Разобранная задача достаточно проста, фактически, она имеет не «повышенный», а «базовый» уровень, уже из приведённого фото можно видеть ответ.
Но в этой задаче есть момент, который я бы хотел выделить – два из трёх неизвестных во всех уравнениях связаны произведением, и ни в каких других формах не встречаются. Эта особенность позволяет рассматривать такое произведение, как отдельную переменную и уменьшить общее число переменных, что, в свою очередь, позволяет решить систему.
Иногда такой приём позволяет решать системы с «повышенным» числом неизвестных, если удаётся объединить две из неизвестных в произведение во всех случаях (обязательно во всех, это обстоятельство важно). Например, требуется определить переменную a из системы:
Это возможно сделать, умножив обе части первого уравнения на c, а обе части второго уравнения – на b. Получим систему, в которой будет нужная неизвестная a, а переменные b и с везде будут только в виде произведения, а значит, их можно рассматривать как единую переменную:
Уравнение легко решается, перенесём в первом уравнении bc вправо, получим выражение для этой переменной, подставим во второе, приведём подобные, и окончательно имеем:
Требуемое неизвестное a будет получено, хотя, две остальные переменные будут определены только вместе, с точностью до произведения.