Добрый день, дорогие читатели! Сегодня разберем очень занятную задачу из математической олимпиады этого года:
Разберем два способа решения этой задачи — и оба хитрые! Сначала способ попроще. Давайте взглянем на последнее уравнение:
Сделаем предположение, что система имеет целые решения. Знаю, самонадеянно, но куда деваться-то?
Если решение целое, то уравнение имеет два решения: (1 ; 2) и (2 ; 1). Рассмотрим их:
Подставим значения в остальные уравнения системы:
Вычтем из первого уравнения второе:
Оставшийся коэффициент, понятно равен трем. Проверим, подставив оставшееся уравнение:
Ура, все сходится! Значит, решение:
Неплохо идет, давайте проверим вторую пару:
Подставим в систему:
Повторив действия, получим решение:
Мы получили два решения. Могут ли быть еще? Попробуйте подумать, почему нет и как это доказать.
Данное решение мне кажется интуитивно понятным. Это решение, которое можно придумать сидя на олимпиаде. Однако организаторы предполагали другое решение — на мой взгляд еще более хитрое.
Внимательно посмотрим на исходную систему и подумаем, что это чем-то напоминает формулы Виета. Предположим, что у нас был многочлен четвертой степени, который раскладывается на два квадратных трехчлена:
Раскроем скобки:
Получились наши красивые выражения из системы! Подставим коэффициенты:
Применив схему Горнера или просто подобрав корни, получим разложение:
Раскроем скобки и получим то самое произведение трехчленов:
В зависимости от того, какой трехчлен назовем "первым" получим два разных ответа:
Вот такая задача! На мой взгляд, не зная метода неопределенных коэффициентов вторую задачу решить трудно. К тому же его нужно не просто знать, а иметь хорошо набитую руку. Однако, решение все же очень симпатичное. На этом все!
Спасибо за внимание, до скорой встречи!
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!