Как я уже говорил закруглить именно два ребра оказалось задачей несколько не тривиальной. Во первых потому что подойдет не всякая базовая пирамида, поскольку ширина фигуры полученной на поверхности принадлежащей плоскости грани должна быть равна длине большого ребра.
Пример: Возьмем треугольную грань основание которой равно 2, и высота проведенная к этому основанию так же равна 2:
Тогда боковые ребра будут равны квадратному корню из 5, а ширина соответственно корню из 5 плюс корень из 5-2. Или sqrt(5)+(sqrt(5)-2). Ну потому что мы положим боковое ребро с одной стороны на основание, и в другой, часть длиной в основание у них будет общей. То есть ширина получится приблизительно 2.472135954. Но, теперь нам нужен угол. Вполне себе логичный угол между этим ребром и нашей высотой в arcsin(1.236067977/2). Уже понятно что просто не будет. Ну в статье то будет просто 38.17270757 градусов. А вот если кто то из вас захочет сделать свой, тут то и начнутся сложности, потому что две вершины должны остаться углами.
Сделали, дальше казалось бы все просто, бери и строй. Ну вот и возьмем, и начнем строить. Построю моноширинную фигуру на одной из граней:
И прокрутим её вокруг того ребра относительно которого она симметрична, благо угол у нас уже есть:
Красиво? Точно? Ну и отлично. Дальше сделаем не совсем стандартно, точнее по другому стандарту, мы добавим участок сферы, радиусом в ширину и с центром в одной из наших угловых, не закругленных вершин. Тем более что закругления у нас уже образовались сами собой.
И видим что действительно, все прекрасно сошлось. Ну значит можно повторить, или скопировать участок на другую сторону предварительно отразив.
Вот здесь то и начинаются чудеса. Оказывается у нас четыре абсолютно одинаковых участка у которых вершина должна перейти в дугу вдоль ребра, а по сторонам от ребра участки окружностей, которые линии пересечения плоскости и сферы, но один участок от сферы радиусом sqrt(5), а второй sqrt(5)+(sqrt(5)-2) нестыковочка получается. Нельзя взять ни один из участков и как нибудь прокрутить чтобы все сошлось, не сойдется. А может это значит что такое тело невозможно? Но непохоже, уж больно красивые все остальные части. Вот именно поэтому я оставил этот пример моноширинного тела на потом. Сейчас мы его немного изучим, ну и в процессе изучим не только его. Повернем тело так, чтобы одно из наших недостроенных ребер, а точнее ребро базового тела к которому это недостроенное ребро принадлежит стало параллельно одной из осей координат, а одна из граней лежала на одной из координатных плоскостей.
Вот так например, ребро параллельно оси x, которая красная, и сторона лежит в плоскости xy на пересечении красной и зеленой линий.
Угол между гранями сходящимися в ребре приблизительно 77.597.
Интересно что Blender покажет нам этот угол только если мы кусочек отрежем, а просто выбрав две грани мы получим 180 градусов минус угол.
Ну и попробуем взять половину этого угла для чистоты эксперимента, и посмотреть какая получится фигура если мы рассечем плоскостью то что у нас уже есть.
Ширины у нас как и ожидалось одинаковые, и если соединить крайние точки готовых кривых в составе поверхностей, отрезки проходят через вершину треугольника образованного пересечением плоскости и базовой треугольной пирамиды. Это наталкивает нас на мысль о том что построение все таки возможно.
А вот расстояния крайних точек до центра кривизны разные, что наталкивает сначала на мысль о том что кривизна дуг должна меняться. Вот тут то нам и придется: А-доказать что моноширинную треугольную пирамиду можно построить построив в каждом сечении проходящем через два противоположных ребра и лежащем на одном из ребер моноширинную фигуру опирающуюся на вершины сечения базового тела. (это легко). Б-доказать что можно построить моноширинную фигуру используя дуги переменной кривизны.(Тоже не должно быть сложно. Просто построим и проверим.) Но это пожалуй в следующей статье, а может в двух.