Давно не было геометрии. Сегодня мы рассмотрим задание №4404 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «повышенного» уровня сложности с развёрнутым ответом.
Напоминаю, для подписчиков предусмотрена возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
- A. Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
- B. Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH=2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 3.
Рассуждаем
Как всегда, для решения геометрических задач, необходимо построить чертёж:
Для решения первого задания необходимо вспомнить признаки подобия треугольников. Первый признак основывается на равенстве углов. Второй признак основывается на равенстве угла и пропорциональности прилежащих сторон.
В данном случае в рассматриваемых треугольниках уже есть один общий угол. И проще доказать пропорциональность сторон. А для этого вспомним свойство высоты прямоугольного треугольника: высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит треугольник на два подобных, и эти треугольники подобны исходному.
В нашем случае высота BH делит остроугольный треугольник на два прямоугольных, в каждом из котором также есть высота, причём, сторона BH общая для четырёх прямоугольных треугольников. Следовательно, можно выразить эту общую сторону как из треугольников, где она является гипотенузой, так и из треугольников, где она является катетом. После чего приравнять выражения, и получить связь сторон треугольников MBK и ABC. Если они будут пропорциональны, то первый вопрос будет доказан.
Для ответа на второй вопрос потребуется вспомнить формулу описанной окружности через сторону и синус противолежащего угла:
Кроме того, необходимо будет вспомнить формулу, относящуюся к прямоугольному треугольнику, в которую также входит синус – отношение катета к гипотенузе равно синусу угла, противолежащего катету.
Из подобия треугольников мы можем заменить угол на сходственный, и в результате вычислить коэффициент подобия треугольников из первого вопроса.
Остаётся учесть, что площадь четырёхугольника, рассматриваемого во втором вопросе, равна разности площадей треугольников из первого вопроса. Следовательно, и отношение их площадей можно найти, зная коэффициент подобия.
План решения
- Учитывая свойство высоты прямоугольного треугольника, выразим высоту BH двояко – из левых и правых по чертежу треугольников, пользуясь свойствами подобия.
- Приравняем выражения для высоты BH и получим отношение сходственных сторон. Равенство этих отношений докажет их пропорциональность, а значит, и подобие треугольников.
- Во втором вопросе пользуясь формулой описанной окружности через синус угла и свойством прямоугольного треугольника, связанного с синусом, получим коэффициент подобия треугольников из первого вопроса.
- Учитывая, что площадь четырёхугольника во втором вопросе равна разности площадей треугольников из первого вопроса, и зная коэффициент их подобия, найдём требуемое отношение площадей.
Решение.
A.
Из свойства высоты прямоугольного треугольника следует:
Аналогично, для другой высоты:
Выпишем отношение соответствующих сторон:
Приравниваем квадрат стороны BH в обоих уравнениях:
Преобразуем, чтобы получить отношения сторон:
То есть, стороны треугольников MBK и ABC пропорциональны, а угол между ними общий. Следовательно, эти треугольники подобны по второму признаку подобия треугольников.
B.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению катета к синусу противолежащего угла. То есть:
С другой стороны, по формуле радиуса описанной окружности через сторону и синус имеем:
Учтём, что ∠BHK= ∠CAB , а BC и BK - сходственные. Получим коэффициент подобия:
Из полученного коэффициента можно найти отношение площадей: