Доброго времени суток. В данной статье постараюсь объяснить как применять правило Лопиталя при решении пределов.
Перед тем, как приступить к разбору решений, нужно знать, что правило Лопиталя не всегда доступно. Оно применяется только при двух неопределенностей предела:
- Неопределенность вида "бесконечность на бесконечность"
- Неопределенность вида "ноль на ноль"
Если выходит так, что неопределенность другого вида, то не стоит отчаиваться. Скорее всего, ее можно свести к нашим двум неопределенностям :)
Это минимальная теория, которая позволит нам использовать это замечательное правило. Теперь можно перейти к объяснениям на примерах.
Пример №1
1 шаг. Смотрим на то, к чему стремиться наш x. Подставим циферку 3 вместо х и найдем нашу неопределенность.
На выходе получаем наш 2 случай неопределенности "ноль на ноль".
2 шаг. Берем производную числителя и знаменателя отдельно друг от друга! Это важно!
Опять подставляем тройку вместо x и получаем ту же неопределенность вида "ноль на ноль". Значит опять берем производную числителя и знаменателя. Получаем
Также подставляем тройку. О чудо, наш предел получил вид
3 шаг. Получаем ответ в виде константы "десять делить на восемь" или же "пять делить на четыре".
Полное решение
Пример №2
1 шаг. Подставляем 0 вместо x и находим неопределенность предела.
Вот и ситуация, где возникает неопределенность вида "бесконечность минус бесконечность", которая нам не подходит. Преобразуем ее к одной из нужных нам. Подойдет "бесконечность делить на бесконечность", так как больше всего похожа на исходную. Недолго думая, можно понять, что выражение внутри предела можно свести к общему знаменателю. Подставляем ноль вместо x и получаем
Получили нужную нам неопределенность!
2 шаг. Берем производную числителя и знаменателя.
Подставляем 0 вместо х и получаем
3 шаг. Получаем ответ "три делить на ноль" т.е. "бесконечность".
Полное решение
Примеры для тренировки
Спасибо за прочтение данной статьи, надеюсь она поможет Вам при решении пределов!
#МАТАНАЛИЗ #ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА #АЛГОРИТМ #лопиталь #пределы #производные