Сидел я сегодня поздним вечером и чувствовал себя очень менеджером. Совещание на совещании весь день, никакой интеллектуальной деятельности. И вспомнил я одну задачу, которую давал лет 5 назад на собеседованиях соискателям на должность "Младшего системного аналитика". Звучит задачка просто: "Чему равна сумма всех натуральных чисел"?
Ну что, пора мне стряхнуть пыль с левой половины мозга (логика), забыть о бесконечных "Добрый день, коллеги! Спасибо что подключились...." и доказать самому себе, что есть еще порох в пороховницах. Условие - никуда не буду подглядывать и расчет буду писать прямо сюда =)
Начнем с определения. Натуральные числа - это целые положительные числа вида 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. до бесконечности. Нужно посчитаться сумму всех этих чисел:
N = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...
Подобный набор чисел в математике называется рядом. В нашем случае бесконечным рядом. Введем еще один ряд. Он будет очень похож на предыдущей, но знаки плюс и минус будут поочередно меняться перед числами:
M = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
Теперь вычтем один ряд из другого. В левой части уравнения будет разница сумм, а в правой вычтем попарно элементы второго рядя из первого:
N - M = (1 - 1) + (2 + 2) - (3 - 3) + (4 + 4) - (5 - 5) + (6 + 6) + ...
Считаем то, что в скобках
N - M = 4 + 8 + 12 + ...
Выносим 4 за скобку в правой части уравнения:
N - M = 4 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...)
А что это такое знакомое у нас получилось в скобках? Да это же:
N - M = 4N
Далее "туда-сюда делай":
N - M = 4N
4N - N = -M
3N = -M
N = -M/3
Отлично! Сумма всех натуральных чисел - это минус одна третья суммы того странного ряда, что мы определили выше. Найдем ее. Для этого введем еще один ряд (обещаю, это последний раз):
L = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
Этакий ряд из прыгающих единичек. Теперь, как делали раньше, вычтем из одного ряда другой:
M = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...
M - L = (1 - 1) + (-2 + 1) + (3 - 1) + (-4 + 1) + (5 - 1) + (-6 + 1) + ...
Считаем скобки:
M - L = 0 - 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + ...
Уберем нолик из правой части и вынесем минус за скобки:
M - L = - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...)
А дальше, полагаю, вы уже поняли:
M - L = - M
2M = L
M = L/2
Дело за малым. Посчитать сумму ряда L. Я обещал, что мы не будем вводим новых рядов. Вместо этого, допишем нолик к левой и правой стороне определения ряда:
L = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
L + 0 = 0 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
А теперь прибавим первое уравнение ко второму:
L + L + 0 = (1 + 0) + (-1 + 1) + (1 - 1) + (-1 + 1) + ...
Суммы во всех скобках равны нулю. А значит:
2L = 1
L = 1/2
И теперь последовательно подставляем рассчитанную сумму в две полученные выше формулы:
M = L/2 = ( 1/2 ) / 2 = 1/4
N = -M/3 = -(1/4) / 3 = - 1/12
Итого:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12
До чего интересный результат мы получили?! Мы сложили бесконечно много положительных целых чисел и получили конечную (!), дробную (!!) и отрицательную (!!!) величину.
"Где подвох?", - спросит дочитавший до сюда. А его нет. Дело в том, что это величина подтверждена экспериментальными измерениями. И я с этими экспериментами познакомился на 5-м курсе в рамках дисциплины "Квантовая электродинамика". Полученная нами величина проявляется (возможно, проявляется где-то ещё, но я уже не помню) в эффекте Казимира.
Эффект Казимира заключается в том, что если взять 2 большие пластины и расположить их параллельно друг другу и начать постепенно их сближать, мы увидим как они начнут отталкиваться друг от друга. Это вызвано тем, что вокруг нас постоянно рождаются пары частиц и античастиц. Они рождаются из вакуума (в ядерной физике такой вакуум называют морем) и сразу умирают (аннигилируют). Но если пластины расположены очень близко друг к другу, рождающиеся между ними пары частиц успевают "растолкать" эти пластины. И получается интересный феномен: рождаемые из моря между пластинами пары частиц оказывают на пластины большее давление, нежели частицы рождаемые в море во вне этого "зазора". Как итог, - пластины раздвигаются. Так вот сила этого "расталкивания" рассчитывается с использованием нашего (теперь уже любимого) ряда и значения -1/12.
Самое забавное, что приведенное нами доказательство не потребовало никаких специальных знаний. Оно доступно даже восьмикласснику (не берем во внимание нарушение свойства устойчивости вычислений в одном из пунктов)
А зачем же я давал эту задачу аналитикам? Мне была важна готовность юного падавана броситься на задачу, решение которой "на берегу" выглядит полным абсурдным. Ведь так часто и бывает в нашей работе: перед нами стоит задача и мы вообще не знаем, что и как делать; с какой стороны к ней подойти. Но, как говорится: "Путь длиной в тысячу миль начинается с одного шага". И я помню много проектов, которые на своей заре казались мне полным безумием. Но мы с командной хладнокровно и скрупулёзно начинали искать решение и вырывали правильный ответ, собирали релиз и выкатывали продакшн.
Не бойтесь абсурда. Храните хладнокровие. И будьте готовы к любым результатам. Даже тем, которые не укладываются в вашу картину мира. Дорогу осилит идущий =)
Подписывайтесь на мой Telegram: https://t.me/itbusinesstools