Сегодня рассмотрим задание №4377 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это несложное стереометрическое задание , хотя оно, по мнению этого института, имеет «повышенный» уровень сложности.
Напоминаю, для подписчиков планируется возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Пока – кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл. Дальше – посмотрим.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Площадь основания конуса равна 36π, высота — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса:
Рассуждаем
Осевое сечение конуса – это сечение, проходящее через его вертикальную ось, то есть ось будет лежать в плоскости этого сечения. Сечениями конуса могут быть и круги, и эллипсы, и сегменты параболы или гиперболы. Докажем, что фигура осевого сечения конуса – это треугольник.
Поскольку ось лежит в плоскости сечения, то и все её точки также будут лежать в этой плоскости. Для нас важны две точки – вершина конуса и центр основания. Плоскость сечения, проходящая через центр основания (а основание в конусе – это круг), будет проходить по диаметру этого круга. Следовательно, плоскость сечения будет включать и крайние точки диаметра.
Получается, что в плоскости сечения будет три точки - вершина и две крайние точки диаметра. Между вершиной и любой точкой основания конуса (в том числе и крайними точками диаметра) проходят прямые - образующие конуса, а между крайними точками диаметра через основание проходит сам диаметр. Таким образом, все три отрезка между тремя точками лежат в плоскости сечения, а значит, эта фигура – треугольник.
Причём, основание этого треугольника – это диаметр основания конуса, а стороны равны, как образующие конуса. То есть, треугольник – равнобедренный. Высота конуса совпадает с высотой треугольника.
Для нахождения площади треугольника надо знать высоту и основание. Высота задана в условии. Основание треугольника получим из формулы площади круга-основания конуса.
План решения
- По площади основания конуса найдём диаметр.
- Зная высоту и основание треугольника (диаметр основания конуса), найдём площадь осевого сечения.
Решение
Площадь основания конуса равна площади круга диаметром d:
Диаметр d – это основание треугольника сечения. Площадь треугольника равна:
Подставляем исходные значения и получаем, ответ:
Замечание
Нередко ученики помнят формулу площади круга через радиус, а не через диаметр:
Вначале решения можно использовать и её, диаметр вдвое больше радиуса, в результате первая формула решения получается такой же.