Всем привет! Продолжаем череду фактов, которые заставляют усомниться в нашей интуиции!)
Итак, можете ли вы себе представить, что 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = -1/12 ??? Кажется, что я нагло вас обманываю. Ну что ж, давайте рассмотрим одно из доказательств этого факта)
Доказательство
1. Для начала рассмотрим бесконечный ряд Гранди: S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + … Чему же будет равна его сумма?
Совершим нехитрый трюк: у всех слагаемых, начиная со второго, вынесем за скобки общий множитель -1, тогда в скобках останется точно такой же ряд S.
Тогда получим равенство S = 1 - S, откуда сумма этого ряда в точности равна 1/2.
2. Теперь рассмотрим ряд, очень похожий на тот, к которому мы хотим прийти, только с чередующимися знаками: S2 = 1 + 2 - 3 + 4 - 5 + …
И совершим еще один нехитрый трюк: запишем этот ряд под самим собой, но со сдвигом на одно число вправо, и сложим оба уравнения
Заметим, что справа получился тот самый ряд Гранди, который мы уже посчитали, а значит, что S2 = 1/4
3. Ну и наконец мы добрались до нашему изначального ряда. Вычтем из него ряд S2, полученный во втором пункте.
Замечаем интересным факт: в правой части все числа делятся на 4, тогда вынесем 4 как общий множитель за скобки. И вуаля! Снова получился наш искомый ряд.
И вот! W = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = - 1/12
Как такое может быть или где ошибка
Дело в том, что обман в самом начале нашего доказательства. Согласно классической теории рядов, ряд 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 … является расходящимся, а значит у него в принципе суммы не существует.
Или все таки это правда
Действительно, классическими методами такое равенство не доказать, оно попросту невозможно. НО! Если применить специальные методы суммирования, например, суммирование по методу Рамануджана, действительно получается -1/12
Применение в физике
В учебнике по теории струн (физика) «String Theory Vol. I: An Introduction to the Bosonic String» применяется значение -1/12 как сумма бесконечного натурального ряда при попытке рассчитать возможные энергетические уровни струны
Знали ли вы об этом раньше? Пишите свои мысли в комментариях)
Другие интересные статьи на моем канале:
Почему 0^0 = 1 ? Как интуиция нас обманывает
Почему математики не играют в казино?
"Волшебный" числовой треугольник