Сегодня рассмотрим задание средней сложности №4357 с сайта ФИПИ.
Напоминаю, для подписчиков планируется возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Пока – кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл. Дальше – посмотрим.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Смешав 76-процентный и 85-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 71-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 75-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 76-процентного раствора использовали для получения смеси?
Рассуждаем
Представленное задание – задание на моделирование практических действий. В большинстве таких заданий основная трудность состоит в том, чтобы составить математическую модель. Описать ситуацию языком математики. При этом, полезно вспомнить опыт выполнения задач по физике, поскольку там практически все задания включают в себя построение математической модели на основе известных законов Природы.
В данном случае в ситуации надо описать сливание двух растворов, то есть, сливание некоторого количества кислоты и воды с другим количеством кислоты и воды. При этом везде известны крепости растворов (массовые доли кислоты в растворе).
Следовательно, для решения необходимо обозначить массы двух исходных растворов неизвестными, а потом составить два уравнения, в которых бы описывались количества сливаемых кислоты и воды, а в результате получалась бы крепость раствора (массовая доля кислоты).
Фактически, эти уравнения представляют собой отношения. В числителе мы должны записать массу кислоты, участвующей в опыте (она равна сумме масс кислот во всех трёх сливаемых компонентах), а в знаменателе должны написать общую массу раствора участвующего в опыте (она равна общей сумме масс всех трёх компонент). Это отношение и будет равно крепости получившегося раствора.
Разница в уравнениях будет в значении получившейся крепости и в третьей компоненте. В первом уравнении третья компонента не содержит кислоты, и в ней 10 кг воды. Во втором уравнении третья компонента содержит 50% кислоты и столько же воды, то есть по 5кг.
План решения
- Обозначим исходные массы растворов за x и y и составим уравнения, описывающие крепость растворов в первом и втором случае.
- В числителях запишем сумму масс кислот в обоих сливаемых растворах и в третьей компоненте смеси (для первого случая – это вода, для второго – третий раствор)
- В знаменателях запишем общую сумму всех трёх сливаемых компонент.
- Отношения будут равны получившимся крепостям растворов (массовой доле кислоты в них).
- Решим систему, получив искомую массу.
Решение
Смешав x кг 76% раствора, y кг 85% раствора и 10 кг чистой воды, в результате мы получим раствор, где количество кислоты:
а воды в этом растворе:
И такой раствор имеет крепость 71%:
А чтобы получить раствор крепостью 75%, надо слить кислоту в количестве:
И воду в количестве:
Полученная крепость:
Мы получили два уравнения с двумя неизвестными. Решаем их. Раскроем скобки в знаменателях:
Приведём подобные в знаменателях:
Умножим на знаменатели:
Приводим подобные:
Подготовим к сложению, умножим второе уравнение на -1,4 (коэффициент подбираем так, чтобы в результате получились равные по модулю и противоположные по знаку коэффициенты при y, при сложении они уничтожатся, останется только одна неизвестная x):
Складываем уравнения:
Откуда: