Нуль в нулевой степени. Какому калькулятору верить?

Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Простые ответы на трудные вопросы»

Почему иногда говорят, что это неопределенность, а иногда, что получается единица?

Здравствуйте, уважаемые любители математики!

Сегодня у нас на повестке - возведение нуля в нулевую степень.

Серьезные учебники по математическому анализу утверждают, что получается неопределенность.

Однако иногда можно встретить мнение, что 0^0=1.

Калькуляторы тоже ведут себя по-разному.

Одни выдают символ ошибки.

Результат: "Ошибка. Не определено"

Другие в ответ на запрос возвращают единицу.

Результат, который получился на калькуляторе сотового телефона

Разберемся в причинах такого разночтения.

Получить результат, используя свойства чисел, невозможно.

Поэтому будем рассматривать показательно-степенную функцию, у которой и числитель, и знаменатель – бесконечно малые функции, и считать значением выражения 0^0 предел этой функции.

Для вычисления предела сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, используя свойства логарифма.

В результате в показателе степени получаем неопределенность (числитель ln(g(x)) стремится к бесконечности (со знаком «минус»), знаменатель 1/g(x) также стремится к бесконечности).

Нуль в нулевой степени - неопределенность

Для иллюстрации приведем пару примеров, из которых видно, что при возведении бесконечно малой функции в бесконечно малую степень может получиться любой результат.

В первом случае достаточно воспользоваться свойствами степеней.

Во втором примере используются основное логарифмическое тождество и одно из свойств логарифма.

Примеры

Аналогичная ситуация будет и в комплексном случае.

Показательно-степенная функция x^x выражается через многозначную функцию Ln(x).

При этом точка x=0 является точкой бифуркации (разветвления) логарифма, но в ней самой функция Ln(x) не определена.

Выражение показательно-степенной функции через натуральный логарифм

Вернемся снова к действительнозначным функциям

Рассмотрим теперь частный случай, когда f(x)=g(x). Проводя аналогичные преобразования и применяя правило Лопиталя, получим, что предел равен единице.

В частном степени получается единица

Условие f(x)=g(x) взяли лишь для простоты вычислений.

Класс функций, дающих в пределе единицу, значительно шире.

Более того, многие функции, используемых при решении практических задач, принадлежат этому классу.

Поэтому, вообще говоря, нуль в нулевой степени – это неопределенность, но в практических вычислениях для упрощения часто используют соотношение 0^0=1.

Данный факт не единственный. Аналогично, например, многие несобственные интегралы в общем смысле не существуют, но сходятся в смысле главного значения по Коши. Ниже на фото приведен пример.

Несобственный интеграл существует только в смысле главного значения

Применение онлайн-калькуляторов даст такой же результат, как при возведении нуля в нулевую степень. В одних случаях появится запись о расходимости интеграла, в других будет вычислено главное значение.

Не забудьте подписаться на канал, если

- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;

- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).

Все статьи серии "Простые ответы на трудные вопросы"

О канале

Рубрикатор канала

#математика онлайн (простые ответы)

#математика #высшая математика #задачи #математические задачи #образование #репетитор #репетитор по математике #онлайн-обучение #репетитор онлайн