Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Простые ответы на трудные вопросы»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Сегодня у нас на повестке - возведение нуля в нулевую степень.
Серьезные учебники по математическому анализу утверждают, что получается неопределенность.
Однако иногда можно встретить мнение, что 0^0=1.
Калькуляторы тоже ведут себя по-разному.
Одни выдают символ ошибки.
Другие в ответ на запрос возвращают единицу.
Разберемся в причинах такого разночтения.
Получить результат, используя свойства чисел, невозможно.
Поэтому будем рассматривать показательно-степенную функцию, у которой и числитель, и знаменатель – бесконечно малые функции, и считать значением выражения 0^0 предел этой функции.
Для вычисления предела сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, используя свойства логарифма.
В результате в показателе степени получаем неопределенность (числитель ln(g(x)) стремится к бесконечности (со знаком «минус»), знаменатель 1/g(x) также стремится к бесконечности).
Для иллюстрации приведем пару примеров, из которых видно, что при возведении бесконечно малой функции в бесконечно малую степень может получиться любой результат.
В первом случае достаточно воспользоваться свойствами степеней.
Во втором примере используются основное логарифмическое тождество и одно из свойств логарифма.
Аналогичная ситуация будет и в комплексном случае.
Показательно-степенная функция x^x выражается через многозначную функцию Ln(x).
При этом точка x=0 является точкой бифуркации (разветвления) логарифма, но в ней самой функция Ln(x) не определена.
Вернемся снова к действительнозначным функциям
Рассмотрим теперь частный случай, когда f(x)=g(x). Проводя аналогичные преобразования и применяя правило Лопиталя, получим, что предел равен единице.
Условие f(x)=g(x) взяли лишь для простоты вычислений.
Класс функций, дающих в пределе единицу, значительно шире.
Более того, многие функции, используемых при решении практических задач, принадлежат этому классу.
Поэтому, вообще говоря, нуль в нулевой степени – это неопределенность, но в практических вычислениях для упрощения часто используют соотношение 0^0=1.
Данный факт не единственный. Аналогично, например, многие несобственные интегралы в общем смысле не существуют, но сходятся в смысле главного значения по Коши. Ниже на фото приведен пример.
Применение онлайн-калькуляторов даст такой же результат, как при возведении нуля в нулевую степень. В одних случаях появится запись о расходимости интеграла, в других будет вычислено главное значение.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Все статьи серии "Простые ответы на трудные вопросы"
О канале
#математика онлайн (простые ответы)
#математика #высшая математика #задачи #математические задачи #образование #репетитор #репетитор по математике #онлайн-обучение #репетитор онлайн
