Полное условие задачи:
На горизонтальной поверхности неподвижно закреплена абсолютно гладкая полусфера радиусом R = 2,5 м. С ее верхней точки из состояния покоя соскальзывает маленькое тело. В некоторой точке тело отрывается от сферы и летит свободно. Найдите скорость тела в момент отрыва от сферы. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Краткое условие задачи:
Решение задачи:
Для решения начертим схематичный рисунок:
Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчета инерциальной. Тело примем за материальную точку, так как его размеры малы по сравнению с радиусом сферы.
При движении тела по поверхности сферы на тело действуют сила тяжести и сила реакции опоры со стороны сферы, перпендикулярная поверхности сферы. Трение отсутствует, так как поверхность сферы гладкая. Следовательно, тепловых потерь нет и полная механическая энергия тела при его движении сохраняется. Условие отрыва тела от поверхности сферы формулируется на основе второго закона Ньютона. В момент отрыва сила реакции опоры равна нулю.
Распишем формулы для энергий. Потенциальная энергия в верхней точке равна:
В момент отрыва высота тела над горизонтальной поверхностью равна:
поэтому потенциальная энергия в точке отрыва равна:
В верхней точке тело покоилось, поэтому его кинетическая энергия в этой точке равна нулю:
В момент отрыва тело уже имеет некоторую скорость, поэтому кинетическая энергия в этот момент равна:
Запишем закон сохранения энергии для двух состояний тела (на вершине сферы и в момент отрыва):
или
Подставим формулы и получим:
или
Запишем в точке отрыва второй закон Ньютона:
Запишем его в проекциях на ось x. Ось x направим от точки отрыва по радиусу к центру сферы.
В момент отрыва сила реакции опоры равна нулю:
Тогда:
Формула для центростремительного ускорения следующая:
Следовательно, получаем:
или
Из рисунка видно, что:
Подставляем (3) в (2) и получаем:
Подставляем (4) в (1) и получаем:
Подставляем данные и получаем численный ответ:
Ответ: 4 м/с.