Сегодня разберём довольно простое задание №4312. Хотя ФИПИ считает, что это задание «повышенного» уровня сложности, ничего слишком трудного в нём нет, и даже ученикам средней силы (на которых рассчитаны мои статьи) решить его будет полезно.
Напоминаю, Дзен плохо поддерживает формулы. Так что я использую скриншоты из редактора.
В дальнейшем для подписчиков планируется возможность получения решений в "вордовском" .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Пока – кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл. Дальше – посмотрим.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Найдите значение выражения:
Рассуждаем
Сразу замечаем, что под корнями стоят числа, которые делятся на 9, а это – квадрат тройки. Следовательно, можно будет вынести общий множитель за знаки корней и за скобки. Чтобы понять, что останется под корнями, надо разложить подкоренные выражения на простые множители:
Отметим, что во втором значении за знак корня можно также вынести двойку.
Далее, обращаем внимание на то, что под знаком синуса стоит выражение, близкое к π. Следовательно, понадобятся формулы приведения. Наконец, сам синус в квадрате, а значит, надо будет вспомнить соответствующую формулу:
При этом заметим, что аргумент удвоится, и будет близок к периоду косинуса 2π. Период в аргументе тригонометрической функции можно прибавлять и отнимать без ограничений, и нам надо будет так сделать, чтобы аргумент синуса стал близок к нулю. При этом он окажется в четвертой четверти. Чтобы получить табличное значение из первой четверти, потребуется либо соответствующая формула приведения, либо свойство чётности косинуса.
План решения
- Разложим подкоренные выражения на простые множители и вынесем квадраты за знак корней.
- Применим формулу квадрата синуса.
- Приведём значение в тригонометрической функции к табличному.
- Алгебраическими преобразованиями находим ответ.
Решение
Разложим выражения под корнями на простые множители и применим формулу квадрата синуса:
Выносим квадраты за знаки корней, и подготовим аргумент косинуса для формул приведения:
Общий множитель вынесем за скобку, а период косинуса вычтем из аргумента:
Сократим знаменатель в скобке и запишем табличное выражение косинуса, учитывая, что косинус – это чётная функция, и у её аргумента можно менять знак без изменения общего значения:
Приводим подобные, раскрываем скобки и получаем ответ: