Сегодня рассмотрим задание №4275 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это задание «повышенного» уровня сложности, однако, для его решений требуется не слишком много усилий.
Напоминаю, для подписчиков планируется возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками.
Пока – кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл. Дальше – посмотрим.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Решите уравнение:
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку:
Рассуждаем
Поглядев на вид исходного выражения, сразу можно вспомнить формулы косинуса двойного угла (там как раз можно избавиться от квадрата) и формулы приведения синуса.
Однако, заметим, что формула двойного угла квадрат заменит на двойной угол – и с ним тоже что-то нужно будет делать. Поэтому с двойным углом следует подождать. А вот формула приведения синуса – очень даже интересна:
Бинго! Справа мы можем получить такой же косинус, как и слева, только в первой степени!
А значит, это и есть путь к решению – сперва применить формулу приведения, а потом решить получившееся квадратное уравнение (с помощью стандартной формулы, или разложив на множители), и по готовым формулам расписать группы корней, которые соответствуют каждому его корню.
Останется отобрать корни, попадающие в заданный отрезок. Здесь удобно будет привести стандартную форму групп корней и границы заданного отрезка к общему знаменателю.
План решения
- Используем формулу приведения в правой части.
- Приведём подобные и разложим на множители.
- Приравняем каждый из множителей нулю и по готовым формулам получим группы корней для каждого множителя.
- Приведём полученные группы корней и границы заданного отрезка к общему знаменателю и отберём корни, попадающие в отрезок.
Решение.
Исходное выражение:
Применим справа формулу приведения:
Переносим оба косинуса влево, и, поскольку свободного члена нет, можно не приводить уравнение к каноническому виду, а вынести общий множитель за скобки:
Первый множитель приравниваем нулю и сразу получаем одну группу корней по готовой формуле:
Второй множитель приравниваем нулю:
Преобразовывая, получаем:
По готовой формуле получаем вторую группу корней:
Для удобства отбора корней на промежутке, приведём все значения к общему знаменателю:
Отбираем:
В итоге получаем ответ:
Замечание
Для проверки построим график функции
Вертикальные линии проведём через каждые π/2:
Можно видеть, что ось абсцисс на заданном отрезке (5/2π – 8/2π) пересекает ось абсцисс три раза.