Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи профильного ЕГЭ»
Здравствуйте!
Разберем задачу 18 варианта 1 из сборника под редакцией Ященко И.В. (36 вариантов) 2021 года.
Построение графиков уравнений
Начнем со второго, более простого, уравнения, которое не содержит параметр.
Перенесем все в левую часть и выделим полные квадраты. Получается окружность с центром в точке (4;2) радиуса sqrt(20).
Легко увидеть, что начало координат лежит на этой окружности. Для этого достаточно подставить нули вместо x и y и убедиться в том, что получилось верное равенство.
Построим эту окружность (пока пунктиром, так как первое уравнение системы даст дополнительные ограничения).
Окружность придется строить от руки (на экзамене можно использовать только линейку). Так как 4^2+2^2=20, то можно предварительно построить точки, сместившись от центра окружности на 4 единицы по вертикали и на 2 по горизонтали и, наоборот, на 2 по вертикали и на 4 по горизонтали.
Кроме того, известно, что 4,5^2=20,25. Поэтому sqrt(20) будет чуть меньше, чем 4,5. Откладываем отрезки такой длины вверх, вниз, вправо и влево от центра окружности и получаем еще 4 точки окружности.
Используя полученные 8 точек , несложно построить окружность без циркуля.
Теперь займемся первым уравнением.
Возведем обе части в квадрат, учитывая при этом область определения.
Таким образом, это уравнение эквивалентно системе из трех условий.
Однако данная система избыточна. В самом деле, из того, что два выражения равны и одно из них неотрицательно, следует, что второе тоже неотрицательно. Следовательно, одно из неравенств можно исключить и получить более простую систему, эквивалентную первоначальной.
Избавимся от более сложного неравенства (т.е. от того, которое содержит параметр). После этого параметр a останется только в уравнении, что значительно облегчает задачу.
Рассмотрим оставшееся неравенство.
После упрощения видим, что y принадлежит отрезку [-4;4].
Другими словами, все построения мы будем выполнять только в горизонтальной полосе между прямыми y=4 и y=-4.
Построив эти прямые и окружность на одном чертеже, увидим, что не все точки окружности лежат внутри полученной полосы.
Та часть окружности, с которой в дальнейшем будем работать, на чертеже изображена красным цветом.
Теперь разберемся с уравнением.
Параметр a содержится в четной степени. Из чего следует, что, если некоторое значение параметра a удовлетворяет условию задачи, то противоположное ему значение (-a) тоже удовлетворяет этому условию.
Это позволяет упростить задачу, предварительно рассмотрев только положительные значения параметра. После этого можно будет, используя симметрию, выписать все его значения.
Именно c этой целью воспользовались равенством a^2=|a|^2.
После всех преобразований получилась совокупность, соответствующая двум прямым, пересекающимся в начале координат и симметричным относительно оси абсцисс.
При этом, очевидно, прямая с положительным коэффициентом будет проходить через первую и третью четверти, а с отрицательным – через вторую и четвертую.
Еще предварительно рассмотрим, как влияет модуль коэффициента перед переменной на взаимное расположение пары прямых.
Если a=0, то прямые совпадают друг с другом и с осью абсцисс. При увеличении модуля параметра a угол между ними начинает увеличиваться (см. фото). Когда |a| стремится к плюс бесконечности, прямые вновь сближаются, но стремятся уже к оси ординат. При дальнейшем движении прямые переходят друг в друга.
Исследование зависимости количества общих точек от значения параметра
Теперь у нас есть все необходимое, чтобы приступить к поиску ответа на вопрос задачи.
Напомню, что надо найти те значения параметра a, при которых система имеет ровно два решения.
Геометрический смысл задания: требуется найти такие значения параметра a, при которых линии, заданные уравнениями системы, пересекаются ровно в двух точках.
В нашем случае необходимо найти значения параметра a (снaчала положительные), при которых пара прямых y=|a|x и y=-|a|x, рассматриваемая как единое целое, пересекает часть окружности, выделенную красным цветом, ровно в двух точках.
Приступаем.
Если |a|=0, то пара пересекающихся прямых вырождается в одну (т. е. прямые совпадают, угол между ними равен нулю), а именно в ось абсцисс, которая пересекает дугу окружности в двух точках: O(0;0) и A(8;0).
При небольшом увеличении значения |a| прямые начинают расходиться (на чертеже они показаны синим пунктиром). Точек пересечения уже будет три. На чертеже они обозначены буквами O, E и D.
Если |a|=1/2, то точек пересечения тоже будет три: O, B и F.
На точку B(8;4) (а также на точку C(0;4)) надо обратить внимание. Они принадлежат рассматриваемой дуге окружности, так как неравенство, задающее горизонтальную полосу, нестрогое.
Если бы, например, в условии задачи вместо квадратных корней были логарифмы, то получили бы строгое неравенство |y|<4, точки B и C не принадлежали бы дуге, выделенной красным цветом, и при |a|=1/2 получили бы две точки пересечения: O и F.
Вернемся к решению задачи. Продолжим увеличивать |a|. Пусть теперь |a|>1/2. Для удобства будем использовать новый чертеж. На нем эти прямые снова показаны синим пунктиром. Теперь точек пересечения две: O и R. Прямая же y=|a|x пересекает окружность за пределами горизонтальной полосы, т.е. найденная точка не будет удовлетворять системе.
При дальнейшем увеличении |a| точка R будет двигаться по окружности по направлению к точке O и в пределе совпадет с этой точкой, т.е. секущая OR в пределе превратится в касательную OK.
Из этого следует, что пара прямых и дуга окружности будут иметь две общие точки, если |a| меняется от 1/2 до значения, соответствующего касательной.
Найдем его. Для этого решим систему уравнений и получим условие, при котором прямая y=-|k|x и окружность имеют одну единственную общую точку – точку касания.
Итак, если |a|=|k|=2, то существует единственная общая точка – точка O.
__________
Дополнение от 26.12.22г.
Найденное значение |k| можно получить и другими способами.
Например, можно вспомнить, что угловой коэффициент касательной равен значению производной функции, задающей линию, в точке касания.
Итак, выражаем функцию через аргумент. При извлечении корня выбираем знак "минус", так как точка касания находится в нижней половине окружности.
Далее находим производную сложной функции и ее значение в начале координат.
Для полноты изложения можно показать, как получить это значение, не выражая y через x.
Внимание: это НЕ школьный материал.
Еще один, очень короткий и красивый способ предложил читатель Дмитрий Н.
Известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
В нашем случае прямая, на которой лежит данный радиус, задана уравнением y=x/2; касательная, соответственно, задана уравнением y=-|k|x.
Далее можно воспользоваться условием перпендикулярности прямых (через угловые коэффициенты) и найти |k|.
__________
Вернемся к решению задачи.
Осталось рассмотреть последний случай, соответствующий условию |a|>2.
Видим, что в этом случае будут две общих точки: O и M.
Исследование закончено. Осталось объединить результаты и выбрать те из них, которые соответствуют вопросу задачи.
Теперь раскрываем модули и записываем ответ.
Задача решена.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Все статьи серии "Простые ответы на трудные вопросы"
О канале
#математика онлайн (простые ответы) #математика #егэ по математике #профильная математика #репетитор #репетитор по математике #онлайн репетитор #егэ математика профиль #задачи #задачи по математике