Давно не было геометрии. Сегодня рассмотрим задание №4078 из банка тестовых заданий для ЕГЭ ФИПИ. Это стереометрическое задание «повышенного» уровня сложности, однако, его будет полезно разобрать и ученикам среднего уровня.
Дзен плохо отображает формулы, значки и индексы. Поэтому, напоминаю, для подписчиков планируется возможность получения решений в «вордовском» .DOCX формате со стандартными формулами, индексами и рисунками.
Пока – кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл. Дальше – посмотрим.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 длины граней AB = 2, AD = AA1 = 1. Найдите угол между прямой A1B1 и плоскостью AB1D1.
Рассуждаем
Как всегда, при решении геометрических (тем более, стереометрических) задач, следует изобразить чертёж:
Плоскость AB1D1 Выделим серым цветом. Углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и проекцией прямой на эту плоскость. Обозначим на проекции точку O, которая лежит в плоскости левой по чертежу грани параллелепипеда. Необходимо найти угол OB1A1. Отметим его.
Для решения задачи в первую очередь необходимо доказать, что прямая OB1 – это проекция ребра A1B1 на плоскость AB1D1. Для доказательства учтём, что прямая OB1 лежит одновременно и в этой, заданной в задаче плоскости, и в плоскости, которая рассекает параллелепипед через два противоположных ребра – DC и A1B1.
После этого остаётся вспомнить свойства прямоугольных треугольников, и рассмотреть прямые, угол между которыми необходимо найти. Поскольку все элементы треугольника AB1D1 лежат на гранях параллелепипеда, то они могут быть найдены из теоремы Пифагора.
Зная все стороны этого треугольника, мы увидим, что он – равнобедренный, а значит, его медиана совпадает с высотой, и может быть также найдена из теоремы Пифагора.
После нахождения высоты остаётся вспомнить, что косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
План решения
- Докажем, что прямая B1O — это проекция ребра A1B1 на плоскость AD1B1.
- Зная длины рёбер параллелепипеда, по теореме Пифагора найдём длины сторон треугольника AD1B1.
- Найдём высоту треугольника AD1B1, учитывая, что он равнобедренный и его высота является медианой.
- Найдём косинус угла OB1A1 и сам угол.
Решение.
Для доказательства, что прямая B1O является проекцией прямой A1B1 на плоскость AD1B1 учтём, что секущая плоскость A1B1D является диагональной секущей параллелепипеда (она проходит также через точку С), и перпендикулярной боковой грани ADD1A1. Поскольку ребро A1B1 лежит в этой плоскости, и прямая B1O также лежит в ней, то последняя – является проекцией ребра A1B1.
Найдём стороны треугольника сечения AB1D1. Учитывая, что грани параллелепипеда перпендикулярны друг другу, можно использовать теорему Пифагора. Из левой по чертежу грани:
Из нижней по чертежу грани:
Из передней по чертежу грани:
Таким образом, треугольник AB1D1 равнобедренный, а прямая OB1 – это высота и медиана. Найдём её (также из теоремы Пифагора):
Треугольник OA1B1 также прямоугольный, следовательно косинус острого его угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
Откуда получаем: