Вроде как это цитата Черчилля. Давайте посмотрим на демократию и голосование с позиций теории игр и вообще математики. Кое-что я уже рассказывал на канале, а кое-что нет, но подборка будет интересной.
Хочу сразу пояснить: демократия — это не только про выборы и голосование. Это набор демократических процедур (правил). По определению. Дальше надо уточнять, и это сделано, и вот там и будет про голосование, выборы, ветви власти, сдержки и противовесы и всё такое. Мы же поговорим именно о парадоксах и проблемах самых простых голосовательных схем.
Пользуясь случаем, хочу пояснить одну важную вещь. Демократия — это набор правил, удовлетворяющих некоторым ограничениям. Если эти правила не нарушены, то всё в порядке. Это важно понимать, потому что частенько абсолютно законно избранного руководителя критикуют ("засиделся"), а совершенно незаконно выкрикнутого на царство долей процента — считают с чего-то легитимным. Это то же самое, как обижаться на вилку конем в шахматах или поражение по времени — обидно, но всё по правилам. Если хотите поменять правила, то это тоже делается по правилам, а не "по щучьему велению, по моему хотению".
Моя дочка, которая в семь лет мгновенно заподозрила подвох в рекламе микрофинансовых контор (такое здравомыслие свойственно не всем взрослым дядям и тетям), разгадала и проблему демократии — это нехватка информации у электората. Народ попросту не может в общем случае объективно выбрать руководителя, и поведется на манипуляции. А манипуляторы свое дело знают.
Однако лучшей системы у нас нет, потому что эта хотя бы позволяет как-то передавать мнение населения руководству помимо бунта. Наличие же "глубинного государства", которое позволяет играть в выборы и менять фигуры, является гарантией стабильности и никого не удивляет.
Какие математические проблемы таят вроде бы правильные вещи, такие, как выборы, голосование большинством, строго рациональные действия?
Парадокс парламента. Уже был на канале, и не раз. Если в парламенте нет единогласного по всем вопросам большинства, то парламент может принять любое решение. Доказывается это так. Каждый депутат считает любое данное утверждение истинным или ложным и голосует соответственно. Если большинство сочло утверждение истинным/ложным, оно истинно/ложно. По правилам логики, если депутат не считает утверждение истинным, он считает его ложным (это тонкий момент, потому что в жизни закон исключенного третьего так строго не соблюдается, но это не принципиальная сложность, она решается). Считая истинными А и Б, депутат должен (по правилам логики) считать истинным и утверждение "А и Б", а если хоть одно он отвергает, то должен отвергать и связку.
Выберем истинные (с точки зрения парламента) утверждения А, Б, В, ... За каждое из низ голосует большинство, но за связки "А и Б", "А и Б и В", и так далее, голосует всё меньше депутатов. Если на каком-то шаге выявилось большинство, голосующее всегда одинаково, то всё ясно. Если же нет, то за связку, скажем, "А и Б и В" голосует уже меньшинство. То есть по-отдельности утверждения истинны, а их связка — нет. Это противоречие, из которого легко выводится всё, что угодно. Например, после принятия А, Б и В, на голосование ставится вопрос "не(А и Б и В) или Ф". Поскольку "А и Б и В" большинство считает ложным, то его отрицание принимается за истину и, по законам логики, связка "или" истинна. Исполнитель (или суд) сочтет истинным утверждение Ф, так как из истинности А, Б и В следует истинность "А и Б и В" и, следовательно, ложность "не(А и Б и В)", а раз так, то обязано быть истиной Ф.
Если такие сложные высказывания вам не нравятся, можно ограничиться более простым результатом: парламент совершенно искренне может считать истинными два противоречивых утверждения: "А и Б и В" и "не (А и Б и В)".
Парадокс многоступенчатого голосования. Имея поддержку в 20%, лидер делит страну на три округа так, чтобы его сторонники были примерно поровну в двух и отсутствовали в третьем. Тогда процент поддержки в двух округах уже 30%. Каждый округ делится на три области, по тому же принципу. В четырех областях, в которых есть сторонники, они составляют уже 45%. Каждая область делится на три района, аналогично. В восьми районах с поддержкой она превышает 50%. Два района из трех выдвинут лояльного выборщика, так что в четырех областях выборщик лояльный, а в двух нет, но это некритично. Потому что в двух областях из трех поддержка достаточна, так что два округа получат нужного выборщика, а третий округ роли не играет. Правитель обеспечит себе два голоса из трех и уверенно победит.
Усиление преимущества. Пусть в стране две партии, у одной поддержка 51% по всей стране, у другой 49%. В каждом районе с небольшим перевесом выигрывает первая партия. И занимает 100% мест в парламенте.
Тот же принцип действует при неравномерной поддержке: из ста областей в десяти поддержка гибеллинов 100%, в остальных 45%, а 55% за гвельфов. В целом по стране (при условии равного населения во всех областях) у гибеллинов немного больше 50%, но честное голосование даст гвельфам 90% мест в парламенте.
Ну или так: десять округов выдвигают по депутату. В девяти распределение мнений 45% за, 55% против (по некоторому вопросу). В десятом округе все за. Население во всех округах одинаковое, так что в целом по стране 50.5% за, а 49.5% против. На референдуме будет принят вопрос. Однако девять из десяти депутатов получат наказы голосовать против. И вопрос будет отклонен.
Зацикливание. Пусть есть три примерно равные группы населения А, Б и В, представленные примерно поровну в парламенте. Действует схема налогообложения "все равны", со ставками 13, 13, 13. Депутат от А предлагает схему 0, 10, 25. Подводит многословное обоснование, и депутаты от А и Б голосуют за нее. Через неделю депутат от Б предлагает схему 40 8 20, против которой горячо возражают А, но схема принимается двумя третями голосов, так как В встают на сторону разума. И сразу разрабатывают новое предложение: схему 13 13 13, примиряются с А и принимают схему, преодолевая сопротивление эгоистичных Б. В итоге все при деле, население с интересом следит за интригой, все искренне убеждают оппонентов, но ситуация ходит по кругу.
Благими намерениями выложена дорога в ад. В десяти деревнях есть по сто красоток в каждой. Дракон предлагает выбрать наугад четыре деревни, которые пришлют по красотке, а остальные получат по золотой монете. Жители голосуют за, так как риск отдать дочь вроде небольшой. Но потом за голосуют также и те, кто пострадал, и большинство всегда набирается. Под конец, когда останется всего четыре девушки, их отцы могут быть и против и даже убедят соседей голосовать против, но шесть голосов они преодолеть не смогут.
Дилемма заключенных. Известная теоретико-игровая задача, которую я изложу немного ближе к политике. Гвельфы могут планировать рeзню гибеллинов, а могут не планировать. Гибеллины тоже. Если одна партия готовит peзню, а вторая нет, то вторая просто погибает. Если обе готовят, то после кровавой схватки обе становятся легкой добычей герцога Россо, лучшего стратега во всей Италии. Если же обе готовятся к мирной жизни, то у них всё хорошо, и герцог ничего не сможет им сделать. Казалось бы, мир является оптимальным решением. Но не тут-то было!
В самом деле, если вы гибеллин и гвельфы готовят peзню, то у вас выбор между "погибнуть" и "дать отпор", и вторая опция дает хотя бы шанс выжить. А если гвельфы хотят жить мирно, то у вас выбор между окончательной победой над противником (шанс встать вровень с Его сиятельством герцогом Россо) или вооруженным нейтралитеом. Опять подготовка к бoйнe выглядит более привлекательно. Поэтому вы будете готовиться, тем более что противники рассуждают так же и знают ход вашей мысли, и знают, что вы его знаете.
Заметьте, что Его сиятельству не надо ничего делать: противники сами всё сделают, причём рассуждая здраво и преследуя свои и только свои интересы.
Парадокс дележа. Пусть несколько партий выставляют кандидатов и известно, кого выберет народ в правители. Если правитель делит доходы плохо, его можно сместить и выбран будет следующий по списку: тот, кого народ любит больше всех. И так далее. Правителю надо поделить сто провинций между десятью партиями.
Казалось бы, делить надо более или менее поровну, то есть каждая получит по десять. Но нет.
Для самых разных кворумов, который должен одобрить решение лидера, лидер может забрать себе львиную долю. А иногда он еще и имеет возможность выбирать, кому дать что-то, а кому не дать ничего вообще!
Пусть кворум 50%, то есть половина голосов должна быть "за". Тогда лидер (первый) дает по одной провинции третьему, пятому, седьмому и девятому, а остальные 96 оставляет себе: *010101010. Ясно, что это так, потому что исключенный и дискредитированный лидер отправится в конец очереди, все сдвинутся на шаг, и те, кому предлагался контроль над провинцией, не получат ничего.
Для кворума больше, вплоть до 70% схема немного иная: *012012012. Тоже проверяется легко. Те, кому предлагается что-то, получат меньше при смене власти, и они поддержат предложение.
Если кворум еще больше, то опять-таки: *012340123
Если лидер и его группа не становятся в хвост очереди, а просто "исчезают" из политики, то схема становится более сложной, но для любого кворума и достаточно длинной очереди есть решение.
Теорема Эрроу. Есть такая теорема, именуемая иногда парадоксом. Каждый голосующий упорядочивает набор вариантов по убыванию предпочтения: лучший вариант, второй лучший, третий и так далее. Нас интересует система правил, способная создать из набора таких списков один итоговый список. От этой системы мы требуем следующих разумных свойств:
- универсальность (система может справиться с любым набором списков);
- полнота (результатом может получиться любая последовательность вариантов, в зависимости от предпочтений голосующих);
- монотонность: если все списки изменить так, что данный вариант не опустится, то и в итоговом списке он не должен опуститься;
- независимость вариантов: если во всех списках два варианта идут в одном и том же порядке, то и в итоговом списке они должны быть в том же порядке;
- отсутствие диктатора: нет голосующего, который мог бы определить результат независимо от остальных.
Теорема утверждает, что если выборщиков не меньше двух и вариантов не меньше трех, то нет системы правил, которая бы удовлетворяла этим свойствам. Если убрать требование об отсутствии диктатора, то теорема звучит так: лучшая система голосования — диктатура.
Что подтверждает практика армии: как бы там ни начинали обсуждения с младших и как бы долго не совещались, решение всё равно принимает командующий. А иначе неэффективно.
Если попробовать поиграть с вариантами (два голосующих, три опции), то всё опирается в вопрос: вот два симметричных списка, кому отдать предпочтение? Можно было бы бросить монетку, но нельзя: схема детерминированная. Монетка просто выберет случайно одноразового диктатора.
Парадокс с процентами. Пусть на Севере процент белых, которые за красных, меньше, чем процент черных, которые за красных. И на Юге тоже так. Но вот в целом по Стране процент белых, которые за красных, намного выше, чем процент черных, которые за красных.
Не может такого быть? Может. Вот пример. Надуманный, но главное показать возможность невозможного.
На Севере белых сто миллионов, за красных девяносто миллионов. Черный один человек, он за красных. В процентах 90% меньше 100%.
На Юге белых два миллиона, за красных никого. Черных сто миллионов, за красных один миллион. Имеем 0%, что меньше, чем 1%.
В целом по стране белых 102 миллиона, из них за красных 90, что в процентах 88%. А черных по стране 100 миллионов и еще один человек, за красных из них один миллион плюс один человек. Что в процентах примерно 1%.
А один процент куда меньше, чем 88, тут не поспоришь.
Сюда же парадокс, что явка в селе Нижние Мхи на выборы составила сто процентов, что намного больше, чем в Москве. Просто все десять жителей пришли на выборы.
Парадокс Острогорского. Пусть у нас опять гвельфы и гибеллины и есть три вопроса. И пять избирателей, у которых своё мнение по этим вопросам. Итак:
Гвельфы: ДА ДА ДА
Гибеллины: НЕТ НЕТ НЕТ
Избиратель 1: ДА ДА НЕТ — голосует за гвельфов, так как совпало два из трех.
Избиратель 2: ДА НЕТ ДА — голосует за гвельфов
Избиратель 3: НЕТ ДА ДА — голосует за гвельфов
Избиратель 4: НЕТ НЕТ НЕТ — голосует за гибеллинов
Избиратель 5: НЕТ НЕТ НЕТ — голосует за гибеллинов
Итак, три голоса из пяти за гвельфов. Однако по первому вопросу три избирателя (3-5) согласны с гибеллинами, по второму тоже три (2 и 4-5), и по третьему три (1 и 4-5).
То есть если голосовать по вопросам, то по всем трём выиграют гибеллины. А если голосовать за партии, то 60% наберут гвельфы.
Парадокс бесконечного горизонта. Есть много шуток, связанных с бесконечностью, и многие мы разбирали. Простейшая из них (отдавать сто флоринов в день и получать два — выгодно в бесконечной перспективе, так как флорин номер i будет отдан в день номер i, да ещё и с процентами в размере аж 100%) может объяснить некоторые проблемы демократии.
В самом деле, простые одношаговые решения плохи даже в шахматах, где всё на виду. Все согласны, что надо смотреть на два... три... четыре... хода вперед. Но на сколько ходов вперед надо смотреть? В шахматах понятно: чем дальше, тем лучше. Но в шахматах игра обязательно кончится, так или иначе.
Мысль, что "надо только потерпеть" иногда может "зайти" электорату. Иногда она даже прибыльна, то есть и в самом деле тяжкий этап надо пройти, сжав зубы, а потом станет полегче. Яркий пример — война (Великая Отечественная). Но не всегда так. И все знают, что не всегда, и поэтому преимущество изначально имеет тот, кто обещает решить проблемы быстро и решительно. А когда не решит, так что вы ему сделаете?
Парадокс конечного горизонта. Мы выбираем мэра на 7 лет, например. Если он метит на второй срок, то у него есть некоторая мотивация, а если нет, то его вообще ничто не побуждает действовать в интересах города. Во всяком случае, на втором сроке, да еще и под конец, уж точно ничего.
Зато он хочет в старости быть уважаемым, сытым и в покое.
Это к вопросу "лучше выбирать или чтоб из столицы назначали".
Тема раскрыта в книге Кена Фоллета (The World Without End), правда, там выбирали приора пожизненно.
Конечно, есть способы не оправдавшего доверие мэра сместить, но они не очень эффективны. А если эффективны, то ими будут злоупотреблять.
А какой смысл такому мэру совершать действия, которые окупятся, когда его уже на посту не будет? Что приводит нас к следующему парадоксу.
Проблема общего имущества. В старой промзоне склады арендует семь контор. Дорога убитая, строения страшные, инфраструктуры никакой. Городу, владеющему промзоной, нет интереса вкладываться в неё. Арендаторам есть, но срок аренды короток и продление не гарантируется. И воз не двигается с места.
Тот же этюд на примере съемной квартиры без домофона. Лендлорду не хочется платить за ненужный ему домофон, у него ключ есть, да он туда и не ходит почти. Арендатор не будет вкладываться в квартиру, откуда может через год съехать. Соседи неохотно впускают гостей арендаторов прижимистого лендлорда. Лендлорда это не волнует.
Сюда же примыкает проблема долгосрочных инвестиций. Бизнес такого не любит, так как отдачи ждать долго и без гарантий. Государство может, но коррупция способна легко и незаметно разъесть проект, на котором десятки лет будут кормиться нужные люди. А потом "семь бед — один ответ, один ответ — пустяк". И нет хорошего решения, есть только частные, на ручном управлении и несомненной гениальности руководства. Ну или этим будет заниматься "глубинное государство", та самая элита, но только которая живёт в стране и планирует жить в ней и дальше.
Проблемы разделения ресурса. Вот есть некий ресурс, пусть в количестве 100 красоток. Десять драконов владеют ресурсом совместно. Дракону нужно 10 красоток для выживания и 11 для комфортной жизни. Первая проблема связана с тем, что девять драконов могут просто совместно оставить без ресурса десятого: так решило большинство, свободен, одну красотку тебе выделили, и лети отсюда. Вторая проблема возникает, если доступ к ресурсу по-очереди, а считать драконы не умеют или не хотят. Первый дракон возьмет себе 11, а то и 12 (с запасом). Второй тоже. И так далее. Всё идет прекрасно, но вот восьмой уже видит, что осталось-то мало, на всех не хватит, а семеро живут очень уж хорошо, а я чем хуже. И берет себе 11 или 12 красоток. Остается самое большее 12, а то и 4. То есть, девятому, в зависимости от совести товарищей, может хватить даже на комфортную жизнь, а может не хватить даже просто для выживания. А вот десятому — точно не хватит. Он, конечно, будет требовать по красотке от остальных, чтоб поделились, но они могут возражать: они нападали на деревни, в них стреляли из луков, они утаскивали красоток, рискуя, а этот на готовенькое прилетел?? Я ни на что не намекаю, просто.
Или так: через 20 лет возникнет проблема, которую будет очень трудно решить. Скажем, кончится рыбка в речке. Можно начать решать сейчас, но это непопулярное решение: все хотят рыбки. Оптимальное решение — начать принимать меры. Правильное с точки зрения выборов — отложить проблему на 20 лет: это будет проблема уже совсем другого человека.
Манипуляции при голосовании. Пусть голосует семь старейшин, выбирая дожа из трех кандидатов: синьор Мартини, синьор Чинзано и синьор Брунелло ди Монтальчино. Трое за Мартини, по двое за двух других. Выберут Мартини, за него больше всего голосов.
Однако те двое, которые за Брунелло, резко против Мартини! И если они, зная расклад, проголосуют за Чинзано, то победит он.
Теперь пусть та пара, которая за Чинзано, резко против Брунелло, а те трое, что за Мартини, ненавидят Чинзано. И допустим, что Мартини вообще изначально не баллотируется. Тогда у Чинзано нет шансов вообще, ведь за него проголосуют только двое из семи! Те двое, что за Брунелло, за него и проголосуют, а те трое, что за Мартини (который не баллотируется) проголосуют за Брунелло, так как Чинзано они ненавидят.
Что делает Чинзано? Убеждает (не обязательно сам лично) Мартини баллотироваться, доказывая ему фактами, что он победит. Его поддержат трое из семи, при этом остальные четверо единым фронтом не выступят: одни сторонники Брунелло, другие его ненавидят. Шансы есть! Но введение в игру фаворита (Мартини) отдает победу (аутсайдеру) Чинзано.
Проблема 50/50. Если страна расколота на два лагеря, в каждом примерно поровну избирателей, то результат, во-первых, огорчит половину жителей; во-вторых, либо случаен, либо связан с махинациями одной из сторон, что в обоих случаях далеко от демократии.
Проблема 60/40. Если в стране есть стабильное превосходство одного лагеря над другим, то мнение этих остальных по существу не играет роли. Если лагерей больше одного, возникают другие проблемы, описанные выше. Как в той шутке: надо ли жителям первого этажа в девятиэтажном доме платить за лифт? Восемь голосов против одного показывают, что да. Ну или два волка и баран голосуют по поводу меню на ужин.
Вот такие вот интересные парадоксы покоятся в самой основе казалось бы правильной и разумной схемы... а вы изволите толковать про пятое измерение.