В предыдущей статье я описал правила построения правильной пятиугольной моноширинной пирамиды. В картинках, так чтобы стало понятно каждому(ну я на это надеюсь). Теперь попробуем алгебраически доказать существование таких правильных пирамид для любого нечетноугольного основания. Для этого рассмотрим отношения длин сторон в наибольшей правильной звездчатой пирамиде. Рассматривать будем в пятиугольной, а писать в общих абстрактных величинах.
Вот такой незамысловатый чертеж, правильный многоугольник, описанная окружность с радиусом R, вписанная окружность радиусом r, сторона длины a. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACF угол F прямой, катет AF=R+r катет FC=a/2. И так очевидно будет для любого правильного нечетноугольного многоугольника.
Запишем нужные формулы(Правила синтаксиса как в языке программирования, так удобнее писать в строчку):
r=R*cos(π/n),
a=2*R*sin(π/n),
Отсюда AF=R+R*cos(π/n), FC=R*sin(π/n);
AC=sqrt(AF*AF+FC*FC);
AC=sqrt(R*R+2*R*R*cos(π/n)+R*R*cos(π/n)*cos(π/n)+R*R*sin(π/n)*sin(π/n));
Из последних двух слагаемых вынесем R*R. В скобках останется единица как синус квадрат + косинус квадрат.
AC=sqrt(R*R+2*R*R*cos(π/n)+R*R(cos(π/n)*cos(π/n)+sin(π/n)*sin(π/n)));
AC=sqrt(R*R+2*R*R*cos(π/n)+R*R);
AC=sqrt(2R*R+2*R*R*cos(π/n));
AC=sqrt(2*R*R(1+cos(π/n)));
Из формулы половинного угла выводим что:
1+cos(π/n)=cos(π/(2*n))*cos(π/(2*n))*2;
Следовательно:
AC=sqrt(4*R*R*cos(π/(2*n))*cos(π/(2*n)));
AC=2*R*cos(π/(2*n));
То есть буквально два радиуса вписанной окружности для многоугольника с вдвое большим количеством вершин. По моему красиво.
Теперь неплохо бы так же красиво выразить oG - расстояние до основания прямоугольного треугольника, чтобы потом найти его высоту.
oG=sqrt(R*R-AC/2*AC/2);
oG=sqrt(R*R-R*R*cos(π/(2*n))*cos(π/(2*n)));
oG=sqrt(R*R(1-cos(π/(2*n))*cos(π/(2*n))));
oG=sqrt(R*R*sin(π/(2*n))*sin(π/(2*n)));
oG=R*sin(π/(2*n));
Ну то есть как раз половина стороны многоугольника с вдвое большим количеством вершин. Отсюда следует что чем больше вершин, тем меньше данное расстояние.
Ну и теперь у нас есть все данные для основания, найдем высоту большой правильной пирамиды для произвольного нечетноугольника.
Высота она же гипотенуза, она же медиана плоского треугольника со стороной 2*R*cos(π/(2*n)) будет равна:
(sqrt(3)/2)*2*R*cos(π/(2*n))=sqrt(3)*R*cos(π/(2*n));
А высота пирамиды соответственно:
h=sqrt(3*R*R*cos(π/(2*n))*cos(π/(2*n))-R*R*sin(π/(2*n))*sin(π/(2*n)));
h=sqrt(R*R*(3*cos(π/(2*n))*cos(π/(2*n))-sin(π/(2*n))*sin(π/(2*n))));
h=2*R*sqrt(cos(π/(2*n))*cos(π/(2*n))-1/4);
Соответственно при увеличении n наша пирамида будет все больше напоминать тело вращения треугольника(Конус), что собственно логично. И понятно что число таких звездчатых пирамид бесконечно много. Можем теперь построить пирамиду во всей её красе:
Теперь неплохо бы узнать углы DMC и AFH.
Для DMC у нас известно что он два угла FMC или DMF для этих углов у нас известна гипотенуза: sqrt(3)*R*cos(π/(2*n)); и противолежащий катет: R*sin(π/n); Угол DMS соответственно равен:
DMC=2*asin((R*sin(π/n))/(sqrt(3)*R*cos(π/(2*n))));
R сокращается:
DMC=2*arcsin((sin(π/n))/(sqrt(3)*cos(π/(2*n))));
И посчитаем для 5 вершин основания 41.81031486 градусов, для 7 вершин 29.77773734, для 9 вершин 23.13376036.
Такая вот тригонометрия.
Для HFA из двух углов AFM и HFM мы также знаем гипотенузу AF=R+R*cos(π/n); и противолежащий катет AM=AG=R*cos(π/(2*n));
Угол соответственно будет равен:
HFA= 2*arcsin((R*cos(π/(2*n))/(R+R*cos(π/n))));
HFA= 2*arcsin((cos(π/(2*n))/(1+cos(π/n))));
И также посчитаем для 5 вершин основания 63.43494883, для 7 вершин 61.70883343, для 9 вершин 61.02326777.
DMC при увеличении количества вершин логично стремится к нулю, HFA стремится к 60 градусам.
Теперь мы можем алгебраически посчитать любой угол для проворота правильной моноширинной пирамиды, и это дает возможность построить любую из них очень точно, но нужен еще один угол, угол наклона треугольника к плоскости основания угол HGo равный:
HGo= arccos(oG/HG);
HGo= arccos((R*sin(π/(2*n)))/(sqrt(3)*R*cos(π/(2*n))));
HGo= arccos((sin(π/(2*n)))/(sqrt(3)*cos(π/(2*n))));
Для 5 вершин основания 79.18768303, для 7 - 82.42774240, для 9 - 84.15702814. Стремится к 90 градусам.
Как видно все эти пирамиды довольно просто считаются алгебраически. Ну как просто, сложно, но по не самым сложным формулам. В следующий раз построим еще парочку пирамид уже используя заранее посчитанные данные.