Функция содержит модуль. Как найти производную?

Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов»

Задача из сборника Демидовича. Надо найти производную функции, которая содержит модуль

Здравствуйте, уважаемые любители математики!

Рассмотрим еще одну задачу на нахождение производной (№978(а) из сборника Демидовича).

На это раз аргумент содержится под знаком модуля.

Сначала преобразуем функцию, используя свойства модуля.

Преобразование функции

Теперь мы можем расписать ее, раскрывая модуль при различных значениях.

Раскрываем модуль

Если аргумент x не равен -1, то производную найти совсем несложно.

Производная при x> -1

Но если x=1, то для нахождения значения производной придется воспользоваться определением производной.

Вычисляя предел, получим, что производная в точке x=-1 равна нулю.

Значение производной в точке x=1

Теперь можем расписать, как вычисляется производная при различных значениях аргумента x.

Найденная производная

Однако запись получилась очень громоздкая.

Чтобы написать производную компактнее, воспользуемся функцией sgn(x+1),

"Сигнум" означает знак (от лат. signum - знак),

Определение функции sgn f(x)

В нашем случае

Конкретизируем

Следовательно

Окончательный ответ

При решении был возможен и другой подход (с точки зрения методики): сначала познакомиться с тем, что |x|'=sgn x, а затем сделать замену переменной.

Не забудьте подписаться на канал, если

- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;

- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).

Другие статьи серии «Лайфаки для студентов»

О канале

Рубрикатор канала

#математика онлайн (лайфаки) #математика #высшая математика #задачи #математические задачи #образование #репетитор #репетитор по математике #онлайн-обучение #репетитор онлайн