Формулы для квадратов расчертить легко, достаточно взять листочек и набросать где надо квадраты, где надо прямоугольники, и все сойдется в тетради или на доске.
А вот кубами посложнее. Так что я решил визуализировать эти формулы посредством 3д редактора. Насколько хорошо у меня получилось судить вам, мне так все стало куда понятнее.
Начнем с простого куб суммы:
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
Расшифровываем по человечески, чтобы заполнить куб с длиной стороны "a+b" нужно взять куб со стороной "a", три прямоугольных параллелепипеда в основании которых лежит квадрат со стороной "a" и с высотой "b", три прямоугольных параллелепипеда в основании которых лежит квадрат со стороной "b" и высотой "a" и куб со стороной "b". Вот так просто, ну и на каждой стороне полученного куба, мы увидим квадрат суммы, достаточно вынести за скобки один из множителей. На трех квадратах касающихся куба со стороной "a" это множитель "а", и наоборот, на трех квадратах касающихся куба со стороной "b" это множитель "b".
Дальше посложнее, куб разности:
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
Как видно для того чтобы получить куб со стороной "a-b". Нужно сократить каждую сторону "a" на "b". В классической записи не совсем очевидно как это сделать, вычитать из куба со стороной "a" три параллелепипеда в основании которых лежит квадрат со стороной "a", а высота равна "b" неудобно. Поэтому начнем с того что добавим к кубу со стороной "a" три параллелепипеда в основании которых лежит квадрат со стороной "b", а высота равна "a". Теперь все очевидно, вычитаем состыкованные углом три параллелепипеда в основании которых лежит квадрат со стороной "a", высота равна "b". И остается только убрать лишний куб со стороной "b".
Кстати чтобы нарисовать геометрическое представление квадрата разности так же куда проще сначала к квадрату со стороной "a" добавить квадрат со стороной "b", и только потом вычитать прямоугольники "ab".
Сумма кубов:
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
О чем нам говорить эта формула? Правильно если мы к кубу со стороной "a" добавим еще один куб со стороной "b", мы увеличим одно из его измерений. Здесь это высота. чтобы выровнять конструкцию по этому измерению(высоте) нужно взять часть куба со стороной "а" и переместить её так чтобы вся фигура стала одной высоты(длины, ширины). Какой будет эта часть? Да очень просто нужно из параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат со стороной "a", а высота равна "b". Вычесть параллелепипед в основании которых лежит квадрат со стороной "b", а высота равна "a". Перемещение части никак не повлияет на объем, ведь мы добавили все что вычли. И итоговая фигура как раз будет в одном из измерений "a+b". Перпендикулярное этому измерению основание будет так называемый неполный квадрат разности, то есть мы отрезали "ab",и добавили "b²", а вот если бы еще раз отрезали "ab", то это был бы квадрат разности.
Разность кубов:
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
Ну после предыдущего здесь все куда понятнее, мы отрезали от куба со стороной "a" куб со стороной "b" и нам нужно все остатки составить на пол, а это как раз 2 куска, "ab(a-b)" и "b²(a-b)", то есть полученная фигура состоит из трех кусков "a²(a-b)", "ab(a-b)" и "b²(a-b)". Выносим "(a-b)" за скобки и все. Во второй скобке останется так называемый неполный квадрат суммы "(a²+ab+b²)"
Ну и разность квадратов на закусочку:
Тут возможно потребуется пояснения, хотя принцип тот же:
Если отрезать от квадрата со стороной "a" квадрат со стороной "b" остаток всегда можно визуально разделить на два прямоугольника "a(a-b)" и "b(a-b)" если соединить их по стороне "a-b"(вынести её за скобки) получится как раз прямоугольник со сторонами "a+b" и "a-b".