Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Разберем еще одно задание (№1009(1)) из сборника Демидовича Б.П.
Требуется доказать, что заданная функция непрерывна, но не дифференцируема в начале координат.
Его сложность – в том, что функция задается разными формулами при различных значениях аргумента.
Сначала небольшое «лирическое отступление».
Функция y=x*sin(1/x) не определена в начале координат, но ее односторонние пределы в этой точке существуют, конечны и равны между собой (оба равны нулю).
Т.е. эта функция имеет устранимый разрыв в нуле.
Следовательно, ее можно доопределить в нуле, тем самым сделав непрерывной.
Именно такая доопределенная функция дана в условии.
Начнем с доказательства непрерывности.
Существует несколько эквивалентных определений непрерывной в заданной точке функции. В данном случае проще будет воспользоваться определением на основе предела.
Сначала рассмотрим выражение, стоящее под знаком предела.
Первый множитель – бесконечно малая функция.
Предел второго множителя не существует. Однако синус – ограниченная функция (принимает значения от -1 до +1).
Вспоминаем, что произведение бесконечно малой и ограниченной функций – бесконечно малая функция.
Следовательно, предел равен нулю.
Значение функции в начале координат тоже равно нулю. Чтобы это определить, достаточно посмотреть на условие задачи.
Таким образом, убеждаемся, что условие в определении непрерывной функции выполняется, следовательно, заданная функция будет непрерывной.
Теперь проверим ее дифференцируемость в начале координат.
Вспоминаем определение.
В данном случае получаем:
Соотношение f (0) = 0 (см. выше) – из условия задачи.
Осталось подставить найденное приращение аргумента в определение производной.
Видим, что после сокращения остается функция, предел которой не существует.
Таким образом, производная в начале координат не определяется, т.е. функция в этой точке не дифференцируема.
Точнее было бы сказать, что заданная функция дифференцируема всюду, кроме начала координат. Но это уже выходит за рамки задания.
Продолжение здесь.
Не забывайте про мой телеграм-канал. Там совсем другие публикации.
Другие статьи серии «Лайфаки для студентов»
О канале
#математика онлайн (лайфаки) #математика #высшая математика #задачи #задачи по математике #образование #репетитор #репетитор по математике #онлайн-обучение #репетитор онлайн