Сегодня мы разберём геометрическое задание №4100. В этой задаче достаточно большое место занимают доказательства. Поэтому, сегодня я не рекомендую пропускать раздел «Рассуждаем» даже тем читателям, кому нужно «чисто решение».
Кроме того, в разделе «Замечание» мы разберём, что делать, если не удаётся вспомнить необходимую для решения формулу.
Как всегда, напомню, поскольку Дзен плохо поддерживает формулы – я использую скриншоты из редактора. В дальнейшем для подписчиков планируется возможность получения статей с решениями в .DOCX формате со стандартными формулами и рисунками. Пока – кому требуется, делайте запросы в комментариях – я предоставлю файл. Дальше – что-нибудь придумаем.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Рассуждаем
Для решения необходимо сделать чертёж. В условии заданы длины сторон треугольника. И, поскольку две из них равны – следовательно, треугольник равнобедренный. Углы при его основании равны.
Также сказано, что окружности касаются двух сторон треугольника. Следовательно, надо вспомнить теорему о двух касательных к окружности, проведённых из одной точки:
Теорема: Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проведённой через эту точку и центр окружности.
В условии заданы равные окружности, и каждая из них касается двух сторон. Из приведённой теоремы следует, что центры равных окружностей будут лежать на биссектрисах углов между сторонами касания. Единственное возможное расположение двух равных окружностей в равнобедренном треугольнике, при которых они ещё и касаются друг друга, следующее:
Из этой же теоремы следует, что D – середина AB (поскольку DE и EB будут равны соответствующим частям отрезка AD. Далее можно рассматривать только половину треугольника с одной вписанной окружностью (треугольник CDB). Сперва по теореме Пифагора найдём оставшуюся неизвестную сторону CD. А потом необходимо будет вспомнить формулу, связывающую полупериметр p треугольника с радиусом вписанной окружности:
Из этой формулы и найдём искомый радиус.
Отмечу, что задачу можно решить и без этой формулы. Но это будет чуть сложнее.
План решения
- Найдём половину основания равнобедренного треугольника.
- Найдём высоту равнобедренного треугольника.
- По формуле, связывающей полупериметр треугольника и радиус вписанной окружности, найдём этот радиус.
Решение
В разделе «Рассуждаем» показано, как расположены окружности внутри треугольника и доказано, что это единственная возможность. Рассмотрим треугольник CDB со вписанной в него окружностью. CD – медиана равнобедренного треугольника. Следовательно:
Кроме того, медиана равнобедренного треугольника является также и высотой. Следовательно, рассматриваемый треугольник CDB – прямоугольный. По теореме Пифагора найдём CD:
Найдём полупериметр:
По формуле радиуса вписанной окружности получим ответ:
Замечание
Можно получить ответ, пользуясь только теоремой о равенстве отрезков касательных (если формула радиуса вписанной окружности забыта).
Но, для этого необходимо доказать, что отрезок DE равен радиусу окружности. Это можно сделать, если помнить, что касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу. Поэтому DE и радиус - противоположные стороны квадрата. Далее обозначаем радиус x, обозначаем оставшиеся два неизвестных отрезка от вершин до точек касания (y,z) и составляем и решаем систему трёх уравнений с тремя неизвестными для каждой из сторон:
В этом случае мы получаем длины всех трёх отрезков от вершин треугольников до точек касания, одна из которых равна искомому радиусу.