Он родился в Одессе в семье врача-гинеколога и преподавательницы украинского языка. С детства Юра любил подшучивать над учителями в школе и часто заставлял маму краснеть за него перед коллегами. После очередной выходки сына женщина даже в сердцах пригрозила выбросить его с балкона на пятом этаже, если такое ещё раз повторится. Мальчик на секунду задумался, а потом произнёс: «Не выбрасывай меня, пожалуйста. Ты ещё будешь мною гордиться!».
В юном возрасте Юрий Стоянов тяжело переболел гепатитом, после чего начал стремительно набирать вес. Чтобы вернуться в прежнюю форму, он записался в кружок фехтования и вскоре достиг больших успехов, получив звание мастера спорта. Кроме этого, Стоянов посещал поэтический кружок, учился в музыкальной школе по классу гитары и занимался в драмкружке при Одесской киностудии.
Когда пришло время поступать в институт, Юра долго не раздумывал — собрал вещи и отправился покорять столичный ГИТИС. Здесь начинающего актёра приняли с распростёртыми объятиями. Его соседом по общежитию стал Виктор Сухоруков, с которым у Стоянова сложились дружеские отношения. А на вступительных экзаменах красавец-одессит познакомился с абитуриенткой Татьяной Догилевой — девушка сразу обратила внимание на будущего однокурсника, а вскоре между ними вспыхнул роман, который продлился несколько лет. Спустя почти полвека бывшие возлюбленные вместе снялись в сериале «Вампиры средней полосы».
Получив диплом ГИТИСа, Юрий Стоянов был принят в труппу легендарного БДТ. Этому театру актёр отдал семнадцать лет жизни, однако за всё время сыграл здесь лишь одну яркую роль — Моцарта в постановке «Амадеус». О популярности тогда говорить не приходилось — актёр просто мелькал на втором плане. Однажды Олег Табаков признался, что много раз бывал в БДТ, но никогда не замечал на сцене Стоянова.
Похожая ситуация складывалась и с кинокарьерой. Первокурсник Стоянов дебютировал на экране в ленте «Великое противостояние», а затем лишь изредка снимался в эпизодах, так что его имя даже не попадало в титры. На съёмках комедии «Анекдоты» Юрий познакомился с другим таким же незадачливым актёром Ильёй Олейниковым — оба они получили в картине малозаметные роли, а в остальное время страдали от невостребованности.
На съёмках актёры успели познакомиться поближе и по-настоящему сдружиться. Оказалось, у них много общего — даже родились они в один день, но с разницей в десять лет. А вскоре друзья-комики уже вынашивали идею совместного проекта. Юмористическая передача «Городок» впервые вышла в 1993 году и задержалась на экранах почти на двадцать лет. За это время Олейников и Стоянов успели воплотить в кадре более шести тысяч образов и получили четыре премии «ТЭФИ». Шоу было закрыто лишь в 2012 году после смерти Ильи Олейникова.
На волне популярности «Городка» Юрия Стоянова начали приглашать в свои фильмы многие известные режиссёры. Актёр появился в ленте Тиграна Кеосаяна «Ландыш серебристый», предстал в драматическом амплуа в картине Никиты Михалкова «12», снялся в комедиях «Бармен», «Гудбай, Америка!», «Гости из прошлого». Сегодня в производстве находится сразу несколько проектов с участием актёра, а всего в его фильмографии уже почти сотня картин.
Впервые Юрий Стоянов женился сразу после окончания института. Его избранницей стала искусствовед Ольга Синельченко, которая подарила супругу двух сыновей — Николая и Алексея. Спустя пять лет этот брак распался. Вскоре Ольга вышла замуж во второй раз, переехала к супругу во Францию и записала детей под фамилией отчима. С родным отцом мальчики практически не общались. Впоследствии они оба окончили МГУ, Николай занимается бизнес-консультированием и является партнёром британский компании THI, Алексей работал в телекомпании «ВИД», а сегодня владеет туристическим бюро.
Первый брак актёра дал трещину, когда он увлёкся редактором БДТ Мариной Венской. С ней Стоянов во второй раз отправился в ЗАГС и прожил вместе двенадцать лет, однако со временем чувства остыли и супруги спокойно и без скандалов развелись.
Лишь с третьей попытки Юрию Стоянову удалось построить крепкую семью. С супругой Еленой он познакомился, уже будучи известным на всю страну. У женщины на тот момент за плечами был неудачный брак, от которого остались две дочери — Ксения и Анастасия. Популярный актёр принял девочек как родных, а вскоре в семье Стояновых случилось пополнение — на свет появилась общая дочь Екатерина. Сегодня девушка учится в одном из московских вузов и пытается всего добиться сама.