Если к вопросу подходить чисто теоретически, то это не будет являться грехом. Человек на Земле поставлен царем и все, что здесь есть, передано ему в пользование. Мы убиваем животных, чтобы использовать их в пищу, и не сильно по этому поводу переживаем.
Люди относятся к домашним животным с практической точки зрения: корова дает молоко, собака охраняет дом, кошка ловит мышей. С домашними животными мы тоже вольны поступать по нашему усмотрению. Если они болеют, мы их лечим, а если не получается, то жизнь их заканчивается насильственным образом. Раньше не усыпляли, а резали, тем самым заканчивались их мучения.
В 20 веке животных начали очеловечивать, т.е. наделять человеческими качествами, которыми они не обладают. Человек начал считать их членами семьи и относиться к ним соответствующим образом. Для христианина эвтаназия недопустима, а если мы переносим человеческое на животных, то уверены, что эвтаназия недопустима и для животных.
Если вы относитесь к животному, как к человеку, то не сможете его усыпить. Если вы это сделаете, то ваша совесть не даст вам покоя. Поэтому сначала надо разобраться с самим собой и понять, насколько для вас это допустимо, т.к. церковь такую процедуру допускает. Если вы не можете себе этого позволить, то не надо делать это через силу. Апостол Павел говорил;
Все, что не по вере, грех.
Если вы совершаете что-то против своей совести, что грехом не является, но считаете это неправильным и недопустим, но все таки делаете, вы совершаете грех. Таким образом, в данном случае, грех это или нет, будет зависеть не от учения церкви, а от вашего личного восприятия.