Тип лекции: ключевая; Время чтения: 15 минут;
Цель: понять, что такое дробь, где применяется и как с ней работать.
Узнаем, что такое наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное и как они применяются. Обсудим, почему при делении на дробь её нужно перевернуть и умножить, а также почему при делении на 0 получается бесконечность (но это не точно). Разберем пару простых задач на процент и как решать их в одно действие.
Что такое дробь
В лекции про числа обсуждали, что существуют исчисляемые предметы, такие как дом, автомобиль, велосипед и другие. При делении этих предметов они теряют свои свойства: автомобиль без колес не поедет, а жить в доме без крыши - некомфортно. С другой стороны существуют неисчисляемые предметы, которые не потеряют свои свойства при делении: вода, воздух, пицца, молоко и очарование.
Дроби - способ описать части неисчисляемого предмета.
Возьмем пиццу, пицца - неисчисляемый предмет, потому что ее можно разделить на кусочки и каждый кусочек будет обладать вкусом.
Например, пицца - состоит из 8 кусочков, 1 кусочек забрали, как описать это на языке математики?
Пицца - это 7/8, где 8 - сколько кусочков в целом предмете, 7 - сколько кусочков сейчас.
Дробь - это другая запись деления, имеет тот же смысл.
Определение дроби
Дробь - это запись из двух чисел, разделенных чертой. Верхнее число называют числителем, нижнее - знаменателем. Это понадобится, чтобы понимать математические определения.
Обратите внимание, что знаменатель не может быть равен нулю, мы поговорим об этом ниже.
Читается дробь как "числитель знаменательных": 3/4 - "три четвертых"; 2/3 - "две третьих"; 1/2 - "одна вторая" и т.д.
Дробь можно представить в виде круга поделенного на сектора: нижнее число (знаменатель) показывает на сколько секторов поделен целый круг, верхнее число (числитель) показывает сколько секторов круга взяли.
Обратите внимание, когда числитель больше знаменателя, значит взяли больше чем 1 круг. Здесь подошли к понятию правильной и неправильной дроби.
Дроби бывают правильные и неправильные.
Правильные дроби - в которых знаменатель больше числителя.
Неправильные дроби - в которых числитель больше знаменателя. Неправильная дробь выражает число больше единицы и ее можно представить в виде правильной дроби, для этого нужно вычислить целую часть, а остаток представить в виде дроби.
Если быть точным, выражение 1 2/5 - называется смешанное число, то есть это такая дробь, в которой есть, и целая, и дробная части.
Действия с дробями
Дроби можно преобразовывать в разный вид, это нужно для того, чтобы сравнивать и складывать их. Преобразование дроби строится на свойствах умножения и деления: a × 1 = a; b/b = 1;
Сначала возьмем свойство a × 1 = a, вместо а подставим дробь 2/3, потому а - это переменная и можно подставить вместо нее все что угодно, получим: 2/3 × 1 = 2/3.
Теперь вместо 1 подставим деление любого числа самого на себя, для начала возьмем 1 = 2/2;
Подставим в выражение: 2/3 × 2/2 = 2/3; Пока от такой записи мало пользы, но что если 2/2 представить в виде действий умножения и деления?
2/3 × 2 ÷ 2;
Разберемся сначала с умножением: 2/3 × 2 - то есть у нас есть 2 части, неважно третьих или автомобиля, просто две каких то части, что будет, когда мы возьмем их дважды? Будет 4 части, в нашем случае 4 третьих части: 2/3 × 2 = 4/3;
Теперь поговорим о делении: в выражении осталось 4/3 ÷ 2; Не важно что, что-то разделили на 3 части, а затем каждую получившуюся часть разбили еще на 2 части, то есть всего получилось 6 частей. Отсюда 4/3 ÷ 2 = 4/6;
Именно отсюда следует закон:
при умножении дробей числители перемножаются отдельно, знаменатели отдельно.
Чуть ниже мы покажем как это выглядит графически, пока продолжим разговор про преобразование дробей.
Выражение 2/3 × 2/2 = 2/3 можно представить как 2/3 × 2/2 = 4/6;
То есть 2/3 = 4/6; Это одно и то же количество, просто представленное разными размерами кусочков. Ниже можно наглядно рассмотреть, как происходит изменение размера кусочков при умножении на разные числа.
Умножение дробей
Выше мы разобрали, почему при перемножении дробей числители перемножаются отдельно, знаменатели - отдельно. В примере выше, мы осуществляли преобразование дробей, но там происходило умножение одной дроби на другую. Графически преобразование дробей можно представить так:
А вот так выглядит неполное преобразование или умножение дробей.
Сложение и сравнение дробей
Дробь - это части какого-то предмета, чтобы их сравнить или сложить, нужно привести их к одинаковому размеру: "привести к общему знаменателю"
Выше разбирали, как происходит изменение размеров дробей. Один из способов - числитель одной дроби умножить на знаменатель другой дроби и наоборот. Так дроби будут состоять из одинаковых частей. Когда получили части одинакового размера, их легко можно складывать, вычитать и сравнивать.
В примере ниже, мы сначала умножаем дробь на единицу. Помним, при умножении на 1 число не меняется, а затем представляем единицу в виде дроби, так мы сможем осуществить преобразование дроби, то есть изменить размер кусочков.
Данный способ хорошо работает с простыми числами, но если попытаться сложить, например, 1/231 и 1/84 получатся громоздкие, неудобные числа:
1/231 + 1/84 = ?;
1/231 × 84/84 = 84/19404;
1/84 × 231/231 = 231/19404;
84/19404 + 231/19404 = 315/25200;
Но можно проще:
1/231 + 1/84 = 4/924 + 11/924 = 15/924 = 5/308;
Это возможно благодаря наибольшему общему делителю (НОД) и наименьшему общему кратному (НОК), о них мы поговорим ниже.
Наибольший общий делитель (НОД) и Наименьшее общее кратное (НОК)
Все целые числа подразделяются на простые числа и составные числа.
Простые числа - делятся только на самих себя и на единицу: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее. Нет конца простым числам, они нам нужны для поиска НОД и НОК, но также участвуют в алгоритмах генерации псевдослучайных чисел, в алгоритмах шифрования.
Составные числа - получаются путем перемножения простых чисел.
Чтобы найти НОД и НОК от нескольких чисел, нужно разложить эти числа на простые.
Как раскладывать на множители
Возьмем дробь 84/231, до этого мы преобразовывали дроби в сторону увеличения числителя и знаменателя, но как преобразовать дробь в сторону уменьшения числителя и знаменателя? В этом поможет наибольший общий делитель.
Нужно разложить на множители все интересующие нас числа: 84 и 231. Поочередно делим число на простые числа. Если не делится без остатка, берем следующее простое число. Если без остатка делится, значит использованное простое число и есть множитель нашего числа.
Разложим 84 на множители:
- 84 делится на 2? - да, добавляем 2 в список множителей. 84 ÷ 2 = 42;
- 42 делится на 2? - да, добавляем 2 в список множителей. 42 ÷ 2 = 21;
- 21 делится на 2? - нет, на 3? - да, добавляем 3 в список множителей.
21 ÷ 3 = 7; - 7 - это простое число, то есть делится только само на себя и на единицу. Добавляем 7 в список множителей и завершаем.
Получилось: 84 = 2 × 2 × 3 × 7;
Разложим 231 на множители:
- 231 делится на 2? - нет, на 3? - да, добавляем 3 в список множителей.
231 ÷ 3 = 77; - 77 делится на 2? - нет, на 3? - нет, на 5? - нет, на 7? - да, добавляем 7 в список множителей. 77 ÷ 7 = 11;
- 11 - это простое число, то есть делится только само на себя и на единицу. Добавляем 11 в список множителей и завершаем.
Получилось: 231 = 3 × 7 × 11;
Даже большие числа без труда раскладываются на множители.
Как найти НОД на основе множителей
Наибольший общий делитель (НОД) - самое больше число, которое без остатка поделит указанные числа.
Технически НОД - это произведение общих простых чисел (множителей).
231 = 3 × 7 × 11;
84 = 2 × 2 × 3 × 7;
Общие множители: 3 и 7;
НОД(84, 231) = 3 × 7 = 21;
Графически это выглядит так:
Как найти НОК на основе множителей
Наименьшее общее кратное (НОК) - это произведение всех множителей, но общие множители берутся единожды.
Хотим сложить две дроби: 1/231 и 1/84, нужно найти общий знаменатель. Для этого возьмем наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Точнее возьмем наименьшее общее кратное.
231 = 3 × 7 × 11;
84 = 2 × 2 × 3 × 7;
Общие множители: 3 и 7, значит их возьмем только единожды;
НОК(84, 231) = 3 × 7 × 2 × 2 × 11 = 924;
Каждую дробь умножим на множители, которых нет в текущем числе, но есть в другом числе.
Графически это выглядит так:
НОД и НОК - это инструменты для преобразования дробей. Однако это не единственная область применения. Например, для проектирования размеров щестеренок используется НОД для поиска максимального размера дуги, в которую поместится целое число зубов шестеренки. Для вычисления парада планет, или для вычисления времени встречи курсирующих автобусов применяется НОК.
Придумайте свои примеры применения НОД и НОК и напишите их в комментариях.
Почему при делении дробь переворачивается
Существует 2 объяснения.
Графический способ
Деление можно представить в виде вопроса: "если разобьем по столько-то, сколько получим?".
Например, возьмем число 6, если разобьем
- по 3 кусочка, получим 2 части;
- по 2 кусочка, получим 3 части;
- по 1 кусочку, получим 6 частей;
- по половинке кусочка (1/2), получим 12 частей; то есть в 2 раза больше, чем изначальное число (6), или 6 ÷ 1/2 = 6 × 2;
Переформулирование вопроса
Действие это вопрос, помните? Сколько будет если число разделить на другое число, например 6 ÷ 3; Здесь ответ очевиден: 2.
Но здесь 6 ÷ 1/2 неочевидно, что должно получиться. Давайте переформулируем вопрос: сколько раз нужно взять половинку (1/2), чтобы получилось 6?
1/2 × ? = 6; Теперь ответ очевиден: 12
Вспоминайте взаимосвязь умножения и деления из лекции про базовые математические операции и их свойства
Почему на 0 делить нельзя или почему при делении на 0 получается бесконечность?
Результат неочевиден: 1 ÷ 0 = ? Можно делить единицу на числа приближающиеся к нулю и заметить закономерность.
Строго говоря, на ноль делить нельзя, потому что у этой задачи может быть несколько решений, а такого быть не может. Эта тема по объему заслуживает отдельной лекции, но вряд ли она будет полезна с практической точки зрения.
Рассмотрим одно из возможных решений.
Для начала возьмем единицу и поделим ее на число, которое еще далеко не ноль, но меньше единицы, например 1/10 и будем последовательно это число уменьшать и понаблюдаем, что будет происходить:
1 ÷ 1/10 , напоминаю, дробь при делении переворачивается: 1 × 10/1 = 10;
1/100:
1 ÷ 1/100 → 1 × 100/1 = 100;
1/1000:
1 ÷ 1/1000 → 1 × 1000/1 = 1000;
1/10000:
1 ÷ 1/10000 → 1 × 10000/1 = 10000;
Закономерность очевидна: чем ближе к нулю, тем больше результат. И предположение очевидно, при делении на ноль, получаем бесконечность.
Ну хорошо, а что получим, если 0 разделим на 0 (0/0)? Напишите свое мнение в комментариях.
Процент и промилле
Процент и промилле - это те же дроби и они подчиняются тем же правилам, что и обычные дроби.
Один процент (%) - это 1/100;
Один промилле (‰) - это 1/1000;
Задачи на процент
Разберем пару задач с использованием процентов.
Задача 1. Сколько процентов от прибыли
Прибыль компании за всю неделю 180 000 рублей, а за текущий день составила 28 800 рублей, сколько процентов от прибыли в неделю сделали за день.
- Надо узнать сколько составляет 1%: 180 000 - это то, с чем сравниваем, значит это 100%. 1% = 180 000/100 = 1 800.
- Нужно целевую сумму (28 800) разделить на размер 1%, чтобы узнать сколько процентов в этой сумме: 28 800 / 1% = 28 800 / 1 800 = 16%
Ответ: 28 800 это 16% от 180 000
Запишем в одно действие:
28 800 ÷ (180 000 / 100) = 28 800 × 100 / 180 000 = 28 800 / 180 000 × 100;
Можно отбросить × 100 и получим 28 800 ÷ 180 000 = 0,16
0,16 - это называют процентом в виде доли.
Таким образом задача на процент сократилась до одного действия.
Задача 2. Сколько прибыли по проценту
На счету в банке 12 334 рублей, за год банк выплатил 11,4% от суммы счета, то есть сумма средств увеличилась на 11,4%. Каков размер счета на конец года?
- Узнаем сколько составляет 1%: 12 334 / 100 = 123,34
- Умножим сумму одного процента на размер выплаты в %:
123,34 × 11,4% = 1 406,08 - Прибавляем сумму на начало года и сумму процентов:
12 334 + 1 406,08 = 13 740,08
Ответ: 12 334 + 11,4% = 13 740,08
Запишем в одно действие:
12 334 + 12 334 / 100 × 11,4;
Создадим скобку (скоро поймете зачем):
12 334 + 12 334 / 100 × 11,4 = 1 х (12 334 + 12 334 / 100 × 11,4);
Вынесем 12 334 за скобку (воспользовались распределительным свойством умножения):
1 х (12 334 + 12 334 / 100 × 11,4) =
12 334 х (1 + 1/100 × 11,4) =
12 334 х (1 + 11,4/100) =
12 334 х (1 + 0,114) =
12 334 × 1,114
Снова пришли к решению в одно действие: 12 334 × 1,114
Закономерность: чтобы узнать результат после увеличения числа на %, достаточно число × (1 + % в виде доли):
100 увеличили на 24% = 100 × (1 + 0,24) = 100 × 1,24 = 124;
100 увеличили на 5% = 100 × (1 + 0,05) = 100 × 1,05 = 105;
100 увеличили на 275% = 100 × (1 + 2,75) = 100 × 3,75 = 375;
Закономерность: чтобы узнать результат после уменьшения числа на %, достаточно число × (1 - % в виде доли):
100 уменьшили на 24% = 100 × (1 - 0,24) = 100 × 0,76 = 76;
100 уменьшили на 5% = 100 × (1 - 0,05) = 100 × 0,95 = 95;
100 уменьшили на 54% = 100 × (1 - 0,54) = 100 × 0,46 = 46;
Задача 3. С подвохом
Товар стоит 100 рублей, накрутка продавца составляет 15%. Сколько процентов составила накрутка от результирующей стоимости товара? То есть увеличили на 15% (15 рублей), получили 115, а теперь 15 рублей от 115 рублей, это сколько процентов? Ответ 15% - неправильный, подумайте.
Важный момент: процент берется от какой-то величины, вначале это
100 рублей, то есть результирующая стоимость товара по закономерностям из предыдущих задач: 100 × (1 + 0,15) = 100 × 1,15 = 115;
А накрутка 15% = 100 × 0,15 = 15 рублей.
Сколько процентов составила накрутка от результирующей стоимости товара? Результирующая стоимость - это 115 рублей. На самом деле все просто! Достаточно интересуемую сумму (15 рублей) разделить на результирующую стоимость (115 рублей).
15 / 115 ≈ 0,13 = 13%
Ответ: накрутка от результирующей стоимости товара составила 13%
Вывод
Процент и промилле - это те же дроби и они подчиняются тем же правилам, что и обычные дроби.
Многие задачи можно решать в одно действие, достаточно представить процент в виде доли.
Процент и промилле можно выразить в виде доли:
например, 45% (45 процентов) - это 0,45, а 45‰ (45 промилле) - это 0,045.
Заключение
Дроби - способ описать кусочки части неисчисляемого предмета. Технически, дробь - это запись из двух чисел, разделенных чертой. Верхнее число называют числителем, нижнее - знаменателем. Это понадобится, чтобы понимать математические определения. Знаменатель - это размер частей, числитель - это количество частей.
Правильные дроби - в которых знаменатель больше числителя.
Неправильные дроби - в которых числитель больше знаменателя.
Смешанные числа - целые числа и дробная часть.
Дробь - это части, чтобы их сравнить или сложить, нужно привести их к одинаковому размеру: "привести к общему знаменателю".
Умножение дробей можно представить в виде поочередных операций умножения и деления. При делении на дробь ее нужно перевернуть и умножить на получившуюся дробь.
Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) - инструменты для преобразования дробей. Чтобы найти НОД и НОК, нужно разложить число на простые множители.
Простые числа - делятся только на самих себя и на единицу.
Составные числа - получаются путем перемножения простых чисел.
Процент и промилле - это те же дроби и они подчиняются тем же правилам, что и обычные дроби.
Один процент (%) - это 1/100;
Один промилле (‰) - это 1/1000;
Если есть вопросы, задавайте в комментариях. Ставьте палец вверх, если понравилось.
Рекомендую
Фото автора Polina Tankilevitch: Pexels
#математика просто #математика #дроби #наибольший общий делитель #нод #наименьшее общее кратное #нок #сложение дробей #умножение дробей #деление дробей