Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Предел выглядит жутковато )))
Но начнем разбираться.
Если факториал числа n – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n, то двойной факториал – это произведение натуральных чисел из отрезка [1, n] той же четности, что и число n.
Например,
5!! = 1*3*5=15 – произведение всех нечетных чисел от 1 до 5;
6!! = 2*4*6=48 – произведение всех четных натуральных чисел до 6 включительно.
При этом 5! = 1*2*3*4*5=120, 6! = 1*2*3*4*5*6=720.
Вернемся к нашему пределу.
Видим (2n)!! и (2n+2)!!.
Выражение (2n)!! – это произведение всех четных чисел от 2 до 2n, а (2n+2)!! –произведение всех четных чисел от 2 до (2n+2), при этом предпоследний множитель будет на 2 меньше, чем последний, т.е. 2n.
Теперь можно (2n+2)!! записать через (2n)!!, а затем и в числителе, и в знаменателе вынести (2n)!! за скобки и сократить.
Выражение под знаком предела станет проще.
Теперь разберемся с (2n-1)!! и (2n-3)!!
И (2n-1), и (2n-3) нечетны, т.е. при вычислении двойных факториалов будем умножать нечетные числа.
Расписывая произведения, увидим, что (2n-1)!! выражается через (2n-3)!!
Подставим полученное представление в предел, вынесем (2n-3)!! за скобки и сократим на него.
Получим отношение двух многочленов.
Дальше можно было бы раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но мы не будем это делать.
Если внимательно посмотреть, то можно увидеть, что и в числителе, и в знаменателе стоят многочлены второй степени. Причем коэффициент перед n^2 в числителе равен 16, а в знаменателе – 28.
Следовательно, предел равен 16/28=4/7.
На моем телеграм-канале вышла серия постов, посвященных пределам выражений с факториалами. Если эта тема интересна, заходите, читайте, решайте.
Другие статьи серии «Лайфаки для студентов»
О канале
#математика онлайн (лайфаки) #математика #высшая математика #задачи #задачи по математике #образование #репетитор #репетитор по математике #онлайн-обучение #репетитор онлайн