Приветствую всех, эта статья показывает решение предыдущей задачи и к тому же раскрывает смысл всей затеи. Итак сама задача описана здесь:
До того ока я не столкнулся с переходными процессами я не осознавал что такое дифференциалы, интегралы и вообще зачем они нужны кроме вычисления площадей и объемов. Но на деле оказалось всё намного интереснее. Но сперва вернемся к задаче.
Сперва я привел пример линейной задачи, где решение было очевидным.
Вторая интерпретация показала, что зависимость расхода нелинейная и напрямую зависит от текущего положения и состояния системы.
И большинство людей, особенно те, кто не знаком с высшей математикой будут решать эту задачу усреднением. В одном из комментариев это было:
То есть если усредняться и предположить что расход падает одновременно с увеличением расстояния равномерно, то решение подойдет. И можно сказать, что приблизительно (на глаз) многие инженеры так и считают для оценки конечного результата или подсчета мгновенной скорости в заданной точке. Но фактически в серьезной высокоточной технике. используют так называемые дифуры(дифференциальные уравнения).
Во время учебы мы их учились решать разными способами, одно из таких направлений - это численные методы, О них я тоже писал несколько статей.
Но реальная сложность - это правильно его составить (дифференциальное уравнение), а далее уже его решить. Ещё в 60-ых годах прошлого столетия вся электроника работала на аналоговых схемах и все вычисления строились на базе операционных усилителей. (На одном из каналов дзена специалист как раз ещё той школы делиться своими публикациями. в конце будет ссылка).
Мы с вами привыкли строить все графики от времени, в этой же задаче я наоборот специально задал условия, когда расстояние зависит от массы транспортного средства(этот факт учитывается в гонках формулы 1, там они заправляют бак с минимальным запасом ),а так как масса меняется с расходом топлива, то получается расход зависит от наполненности самого бака. таких задач на самом деле очень много в жизни.
Теперь мы подходим к решению, а как же получить ту формулу и рассчитать суммарное расстояние.
Сперва немного опишу процесс, точнее чтобы лучше понять смысл происходящего, разберем ситуацию.
В момент, когда мы трогаемся, мы понимаем. что бак полный и мы проедем на нем 1000 км,(50/5*100), но буквально через некоторое время, когда мы потратим немного топлива и расход на сотню уже уменьшится. Предположим. что мы истратили Y топлива, тогда в баке осталось 50 -Y.
Значит в данный момент расход уже меньше чем 5 литров. И встает закономерный вопрос, а сколько. И тут мы понимаем из условия. что расход напрямую (то есть линейно зависит от массы - объема топлива в баке)
Теперь мы в любой момент можем рассчитать мгновенную скорость. То есть рассмотрим случайный момент. когда мы уже истратили Y топлива и в данный момент(мгновенно) мы тратим P(V)=P(Y) топлива, где V это общее значение. а Y - конкретное.
Получается. что в нашем случае расход линейно зависит от объема топлива, и по двум крайним точкам находим эту зависимость
P = V/50+4(общее уравнение). Получается в точке Y литров топлива, мы будем иметь Y/50+4 литров расход топлива на 100 км, Теперь получается необходимо перевести расход в расстояние и это самое интересное.
Предположим, что мы в некоторой точке Х имеем расход V/50+4 и важно понять какое расстояние мы проезжаем за маленькую долю топлива. Это можно понять из пропорции 100км за V/50 + 4 литра (в крайних точках это будет 4 и 5 литров соответственно). Получим расстояние dX (мгновенная величина) мы проедем потратив dV литров. Получаем пропорцию
Что нам показывает эта пропорция. Левая часть, это минимальное расстояние в точке при мгновенном расходе в этой точке(это суть дифференцирования- дробления на промежутки), а справа у нас формула расхода топлива при проезде 100 км.
Получается. чтобы найти полное X(расстояние), нам необходимо проинтегрировать правую часть по мгновенному расходу(dV) от крайних точек(топлива в баке).0 и 50. На самом деле, можно спокойно рассчитать сколько километров мы проедем за первые 10 литров и сколько за последние 10 литров. как вы понимаете расстояние будет разным.
Итак, у нас всё свелось к такому интегралу.
Но можно привести интеграл к более читаемому виду:
Если мы будем подставлять различные границы (от какого наполнения и до какого наполнения) мы можем рассчитать какое расстояние мы проедем.
Используем таблицу интегралов и находим формулу
Получим:
X (V)= 5000*ln(V+200) + C
C- это константа, которую в данном случае приравняем к нулю(стартавали с начала отсчета) и затем подставляем границы интегрирования
Получим что расстояние будет равно:
5000*ln(50+200) - 5000*ln(200) = 5000*(ln(250)-ln(200))
Получим 5000*(5,521461-5,298317)=1115,718 или примерно 1116 км.
Из ответивших, один человек рассчитал и нашел цифру в 1111,11 усреднением и получилось погрешность меньше чем 1%,
Ещё два человека нашли решение как полагается через дифференциальное уравнение. Причем достаточно быстро.
А теперь к главному, с точки зрения программирования и математики - это детская задача, особенно для тех кто изучал "вышку", но вот с точки зрения происходящего процесса, она уже требует задуматься.
Самое сложное во всем этом понять принцип и правильно составить зависимость одних параметров от других. Любая динамическая система имеет под собой дифференциальные расчеты. Согласен с тем, что в современном мире цифровых технологий не надо так далеко смотреть и можно в реальном времени следить за параметром и тут же его корректировать, как большинство сейчас технарей и думают. Но при скоротечных и много параметрических процессах ха этим можно не успеть.
Подобные вещи легко встречаются в системах передачи больших объемов трафика, когда определенную долю начинает "съедать" служебный трафик. Или если трафик меняет свой характер с коротких пакетов на потоковый. это сказывается на загрузке сети.
Аналогично с памятью и вычислительными процессами. Когда сама организация процесса требует ресурса и в итоге отъедает столь нужную вычислительную мощность на административные задачи.
Аналогично и в экономике, когда учет расхода средств съедает ресурсы. Везде есть граница, которую нужно понимать и ощущать.
Аналогично и с программированием электроники. её надежностью и стоимостью.
Я специально взял достаточно простой пример. потому что более сложные еще тяжелее объяснять. А самое главное находить правильное мат. описание.
В этом плюс нейросетей, что им не нужно знать сам процесс, они составляют модель по статистике, с помощью которой её обучают. Вам не нужно. искать это уравнение. вы просто примерно понимаете. как будет. составляете модель(по точкам), а дальше идёт обработка результатов и поиск оптимального решения.
У меня всё. благодарю за внимание.
-------------------------------------------------------------------------------------
Хочу поделиться дружественными каналами, которые ведутся по моему мнению экспертами в своей области.
#интеграл #математика #дифур #вивитроника