Продолжаем разбираться с непростым миром метрологии на простых и наглядных примерах. И сегодня мы поговорим об интересном и важном моменте, который иногда упускается из вида - независимости измерений и влиянии независимости на погрешность измерений.
По большому счету, мы сегодня столкнемся с теорией ошибок. Это раздел математики, математической статистики. При этом (обещаю!) математикой мы заниматься не будем. Мы будем заниматься только вопросами измерений. Причем вполне практическими вопросами.
При этом нам сегодня понадобится и информация из предыдущей статьи, где мы разбирались с аналоговыми, дискретными, цифровыми измерениями, но на самом то деле разбирались с шкалами и их дискретностью
Процесс измерения по шагам. Или измерения действительно независимые
Представим, что у нас есть несколько небольших отрезков провода и нам надо измерить их длины. Не сомневаюсь, все прекрасно знают, как это сделать с помощью линейки. Но дьявол ведь всегда кроется в деталях, поэтому все таки рассмотрим этот процесс по шагам
Шаг 1. Предприняли попытку выпрямить изогнутый отрезок провода. На иллюстрации видно, что этому не уделили должного внимания. Назовем этот шаг подготовкой к измерению. В результате получили исходное состояние, которое на иллюстрации обозначено цифрой 1.
Шаг 2. Приложили линейку к отрезку провода (или наоборот). Выровняли левый конец по нулевому делению шкалы линейки. Это уже начало собственно измерения. Установка нуля. Для измерения длины линейкой этот шаг очевиден. Но для измерения, например, электрической величины стрелочным измерительным прибором, может показаться, что этого шага нет. Ведь стрелка и так покоится на нулевом делении шкалы. На самом деле, стрелка может сбиться, поэтому проверять "установку нуля" все таки нужно. Кроме того, например, омметр имеет ноль в конце шкалы и его установка проверятся при замкнутых щупах. Если "батарейка садится", то установку нуля нужно повторять. Цифровые измерительные приборы могут выполнять установку нуля автоматически.
Шаг 3. Нашли деления шкалы, между которыми располагается правый конец отрезка провода. Определили деление, к которому правый конец отрезка ближе всего. Подсчитали количество делений соответствующих всему отрезку. Или просто считали показания с нанесенных на шкалу цифр (если они есть). На этом измерение закончено.
Ну а у нас появился результат измерения. И этот результат, как всегда, содержит систематическую погрешность вносимую самим измерительным инструментом и случайную погрешность вызванную не совсем точной "установкой нуля", ошибкой в определении деления соответствующего правому концу отрезка, неровностью отрезка провода. Сюда же добавится погрешность самой дискретизации, в общем случае равная половине цены деления шкалы.
И мы можем записать результат измерения с учетом всех этих погрешностей. Точно так же мы будем измерять длину остальных отрезков провода.
Но обратите внимание на очень важный факт! Измерение длины каждого отрезка никак не зависит от измерения длины предыдущего отрезка. И никак не влияет на результат измерения последующего отрезка.
Поэтому такие измерения и называются независимыми. Случайные погрешности независимых измерений являются независимыми событиями. Если обратиться к теории вероятностей, то можно найти четкое определение независимых событий
"Событие A называется независимым от события B , если его вероятность не зависит от того, произошло событие B или нет."
И это нам будет сегодня важно. Но к понимаю важности независимости измерений мы будем подходить постепенно.
Шары, черный и белый
Давайте оторвемся от нашей любимой линейки и посмотрим, чем различаются зависимые и независимые события, если рассматривать их с точки зрения измерений. Пусть у нас есть два шара, черный и белый, которые лежат в коробке. Мы можем достать любой шар, но мы не можем видеть его цвет, пока не шар лежит в коробке.
Мы будем проводить измерения доставая шары из коробки. Белый шар будет обозначать, что измерение точное. Черный шар будет обозначать, что в измерении есть погрешность. То есть, оно ошибочное.
Независимые измерения
Потрясем коробку, что бы шары как следует перемешались. Теперь достанем один шар. Какова вероятность ошибки этого измерения? Очевидно, что 50%.
Вернем шар в коробку и снова потрясем ее. Это та самая "установка нуля", приведение системы в начальное состояние. Снова достанем шар. Какова теперь вероятность ошибки? Опять очевидно - те же самые 50%.
Дело в том, что возврат шара в коробку делает два измерения независимыми. Какой бы шар мы не вытащили первый раз, это никак не может повлиять на второе измерение.
Зависимые измерения
Теперь повторим наши измерения. Но после вытаскивания первого шара мы не будем возвращать его в коробку. Таким образом, второе измерение будет гарантированно зависеть от результатов первого. Например, если мы при первой измерении вытащили белый шал, то второе измерение будет иметь 100% вероятность ошибки. Просто в коробке остался только один шар. И он черный.
Таким образом, зависимые измерения существенно отличаются от независимых в части случайной погрешности.
Продолжаем измерять, но теперь еще и отрезаем
Возвращаемся к нашим линейкам. Предположим, наша задача изменилась. Теперь нужно нарезать длинный провод на отрезки заданной длины. И у нас есть два варианта решения этой задачи.
Используем линейку и количественное измерение
Возьмем линейку и будем отмерять ей нужную длину провода. Поставим метку, по которой отрежем провод
И таким образом нарежем нужное количество отрезков провода. Предположим, мы отмеряем провод с точностью дискретностью 1 мм. Таким образом, длина каждого отрезка провода будет иметь погрешность ±0.5мм. Прочие погрешности будем считать нулевыми. Это погрешность дискретизации шкалы линейки.
И мы имеем полное право считать, что выполняемые нами измерения независимые.
Используем шаблон и качественное измерение
Это не самый быстрый способ нарезки провода. Можно ли повысить производительность труда? Можно. Давайте сделаем шаблон, но не в виде отрезка провода, а в виде упора
Мы продвигаем провод под ножом до упора. После чего нож отрезает провод. Теперь у нас нет шкалы, а измерения стали качественными, а не количественными. Мы сравниваем длину провода с копией эталона, которую создает упор. Исчезла ли при этом дискретность шкалы линейки? Нет, не исчезла. Ведь мы использовали шкалу при создании эталона.
Но теперь появилась одна важная особенность. Дискретность шкалы, как случайная погрешность, проявляется не при каждом измерении, она стала систематической погрешностью, причем абсолютной, нашего "отрезного стола".
О разных типах погрешностей и откуда они берутся будет отдельный разговор, отдельная статья. Нам сегодня достаточно, что погрешность дискретизации никуда не исчезла, хоть шкалы и не видно.
Будут ли теперь измерения независимыми? Да, они по прежнему независимые. Неважно, отрезали ли мы раньше провод, отрезали ли его правильной длины. На измерение (отмеривание) очередного отрезка провода это никак не влияет.
Считаем целое из отрезков
Опять изменим задачу. Предположим, что кроме нарезания провода потребовалось еще в конце дня подсчитывать, сколько провода с катушки израсходовано. То есть, нужен расходомер. Только не жидкости или газа, а провода.
Одно из очевидных решений - установить счетчик, который подсчитывает количество отрезанных отрезков провода. Потом просто умножим количество на длину. Сказано - сделано
Что у нас изменилось? У нас появился ролик, который прижат к проводу и вращается при его протяжке. На ролике есть выступ, который позволяет автоматически определить, что отмеряна нужная длина. При этом провод автоматически отрезается, а счетчик увеличивается на +1.
И вот тут то у нас появляются интересные моменты. Давайте рассмотрим их немного подробнее.
Начальное положение ролика определено
В этом устройстве у нас является важным начальное положение ролика. Именно оно задает то, что называется "ноль", начало отсчета. Разумно предположить, что перед началом работы мы установим измерительный ролик в определенное начальное положение. В этом положении выступ ролика только что увеличил состояние счетчика на 1 и отрезал очередной отрезок провода.
Установкой начального положения ролика, той самой установкой нуля, мы автоматически исключаем влияние предыдущих измерений и отрезаний. Какими бы они ни были. В процессе работы после каждого цикла ноль устанавливается автоматически.
Действительно, после прохождения под роликом заданной длины провода мы отрежем очередной отрезок и подсчитаем его счетчиком. При этом устройство снова окажется в начальном состоянии.
То есть, измерения длины провода будут независимыми, хоть это и может показаться неочевидным. И каждый раз, для каждого отрезка, все погрешности начнут отсчитываться с начала.
Начальное положение ролика не определено
А что будет, если нет возможности установит начальное положение ролика? По сути, это отсутствие возможности выставить ноль перед началом работы. А значит, первый отрезок провода может быть некорректной длины.
И вот это как раз проявление зависимости первого измерения, но не от предыдущего, а от начального состояния устройства. Однако, после отрезания первого же отрезка провода (который может быть бракованным) у нас "ноль" выставится автоматически. Мы окажемся в той же самой ситуации, что предыдущем варианте.
Что же получается, вне зависимости от возможности установки нуля у нас опять все измерения независимые? Да, но с одной оговоркой. Кроме самого первого. Но его нельзя назвать зависимым, оно скорее ошибочное (возможно).
И где же обещанные зависимые измерения? Сейчас все будет.
Расходомер это зависимые измерения
У нас в последнем устройстве ведь был расходомер? И мы выяснили, что измерения остались независимыми. В чем же хитрость? Хитрости нет. Просто у нас расходомер умел самоустанавливаться в нулевое состояние за счет механизма отрезания провода. Это такой побочных эффект. Давайте его уберем и рассмотрим чистый расходомер
Это именно расходомер. Точнее, счетчик-расходомер. Он измеряет расход, а не скорость расхода. Мы зачастую не знаем ни начального положения измерительного ролика, ни текущего. Мы может ориентироваться только на количество импульсов, которые с измерительного узла (ролика) поступило на счетчик. Кстати, счетчик может быть не электронным, а механическим, например, таким
И выступ измерительного ролика будет не импульсы формировать, а механически поворачивать входное колесо счетчика. Это абсолютно ни на что не повлияет.
Кроме того, что здесь положение измерительного узла зачастую не известно, и счетчик может не иметь ручного сброса в ноль. Но пока оставим счетчик в покое и рассмотрим сам измерительный узел
Перемещение провода аналоговое. Вращение ролика тоже. Но у нас на ролике есть выступ, и в расходомере есть датчик положения ролика (датчик оборотов). Результат измерения это количество импульсов, которое соответствует прошедшему через проводу, его длине.
Выступ на ролике и датчик оборотов создают не только дискретность, они создают шкалу. И цена деления шкалы равна длине окружности внешней поверхности измерительно ролика. Да, это шкала, хоть и совсем не выглядит как шкала.
Предположим, что длина окружности измерительного ролика 10 см. Это и есть цена деления. Наш расходомер будет выдавать один импульс на каждые 10 см провода. Даже если этот импульс механический.
Расход провода (в данном случае, провода) не обязательно идет постоянно. Ведь можно в любой момент вытянуть любое количество провода. Но как же будет считать счетчик такого расходомера?
Предположим, что вытянули 5 см провода. Это точно меньше цены деления шкалы. Но начальное положение ролика неизвестно, а значит, мы можем получить увеличение счетчика даже при расходе всего 5 см
И мы получим, на первый взгляд, ошибочное измерение. Но не спешите с выводами. Влияние дискретности шкал мы обсуждали в предыдущей статье. И пока это именно дискретность.
Но обратите внимание, что после этого первого измерения положение ролика и осталось неизвестным, в этом положении сохранилась информация об измерении! И эта информация будет учтена, автоматически, по самой природе зависимых измерений, в следующей измерении.
Давайте рассмотрим это на примере. На иллюстрации видно, что начальное положение ролика соответствовало примерно "-1" см. То есть, через расходомер прошло примерно 9 см и до полного оборота не хватило 1 см. Поэтому, когда мы вытягивали 5 см провода у нас счетчик и увеличился на 1, недостающий сантиметр прошел под роликом. Оставшиеся 4 см на счетчик не повлияли, но на положение ролика повлияли. И теперь в нем "накоплено" 4 см. До полного оборота не хватает 6 см.
Если теперь мы вытянем еще 7 см провода, то счетчик увеличится еще на 1, как будто мы вытянули уже 20 см, хотя на самом деле всего 12 (5+7). А в положении ролика будет сохранен 1 см неучтенного расхода.
Вот так предыдущее измерение влияет на последующее. А последующее зависит от предыдущего. У нас измерения стали зависимыми. И пока погрешность получается очень большой, если брать суммарный расход как сумму двух измерений.
Но дело в том, что расходомер считает общий расход, а измерения зависимые. Поэтому та самая погрешность ±5 см (половина цены деления) для "правой точки отрезка" и ±5 см для "левой точки отрезка" (мы не знаем начальное положение), которая в сумме равна ±10 см, останется для суммарной длины неизменной. Это та самая "единица младшего разряда", погрешность в цену одного деления. Она не будет накапливаться для суммарного измерений. В отличии от независимых измерений.
Обращаю ваше внимание, что речь пока идет не о всех погрешностях, а лишь о погрешности дискретизации. Как ведут себя различные погрешности для зависимых и независимых измерений мы будем разбираться в дальнейшем.
Что изменится, если мы будем сбрасывать счетчик, например, в начале каждого дня? На положение измерительно ролика это никак не повлияет. Информация о предыдущем измерении в нем все равно сохраняется. Но вот отсчет погрешности дискретизации начинается с самого начала.
Да, измерения остались зависимыми, если говорить о положении ролика. Но мы ведь считаем не угол поворота ролика, а количество импульсов. И это количество было сброшено.
Заключение
Да, статья получилась довольно сумбурной. Но я считал важным показать, как именно появляется зависимость измерений. Причем показать наглядно и максимально просто.
Зависимость измерений не всегда видна сразу. Например, для расходомера, который состоит из измерительного узла и счетчика, то есть, счетчика-расходомера, может быть заявлена погрешность в ±1 младшего значащего разряда. В дополнение к относительной погрешности. Но ±1 это не погрешность счетчика, который может быть даже не частью расходомера, это погрешность дискретизации виртуальной шкалы измерительного узла.
И если мы считаем именно импульсы, суммарный расход, без сброса счетчика, то погрешность дискретизации суммироваться не будет. Нам будет достаточно число импульсов умножить на цену деления, учесть относительную погрешность и ту самую дискретизацию, причем последнюю для всего накопленного результата.
А если мы счетчик сбрасываем и записываем ежедневный расход, то при суммировании мы должны будем учитывать не погрешность дискретизации для расхода в целом, а для каждого записанного значения дневного расхода.
Если это кажется слишком сложным и запутанным, значит у меня плохо получилось объяснить эти важные особенности измерений. Но мы к этому еще вернемся. Ведь нас ждут погрешности, самые разнообразные.