Уже ставший легендарным «Буба Касторский» родился в 1922 году в Киеве в обычной еврейской многодетной семье и был седьмым ребенком. Отца-кормильца не стало, когда Борису было 4 года. Его смерть в те и без того голодные годы поставила семью на грань выживания в прямом смысле слова.
Ответственность за жизнь детей взял на себя старший брат, который к тому времени уже выступал танцором в местном цирке. Он научил маленького Борю танцевать «Цыганочку» и «Барыню», которые малыш с большим усердием и старанием танцевал на базаре, за что зрители расплачивались с ним продуктам.
Как позже вспоминал Борис Михайлович, самые острые детские воспоминания у него были связаны с тем, когда он нёс заработанные своим танцем продукты домой. А это были обычно лук, картошка, иногда кусок хлеба или даже куриной яйцо.
Ему, пятилетнему малышу, самому очень хотелось кушать, но он знал, что дома его ждут тоже голодные сестры, одна из которых была очень больна и слаба, а также мама, у которой на нервной почве отнялись правая рука и нога, но она всё равно брала заказы на стирку чужого белья.
И осознавая это, он не просто приносил всё домой, но еще и сам отказывался есть, пока сестры не покушают. Наверное, именно такая школа выживания и сострадания помогла ему позже, во взрослой жизни, достигнуть признания и успеха.
Но жизнь постепенно налаживалась. В 1937 году пятнадцатилетний Буба (а именно так его звали в детстве) поступил в Киевское хореографическое училище и позже выступал в главном танцевальном коллективе республики – Ансамбле танца УССР. Во время войны в составе ансамбля он объездил все фронты, давая по 2-3 выступления в день. От такой физической нагрузки и тяжелых полевых условий (холод, сырость, нерегулярное питание и т.д.), у Бориса появились ставшие позже хроническими болезни суставов ног. За свой самоотверженный труд в 1944 году он был награжден медалью «За боевые заслуги».
После окончания войны Борис еще некоторое время выступал в ансамбле Александрова, но из-за болезни суставов с 1948 года он перешёл в Москонцерт и стал выступать в качестве артиста эстрады, играя в интермедиях и литературных пародиях.
В это же время его начинали привлекать в кинематограф. Сначала в качестве балетмейстера, ну а позже и в качестве актера. Всесоюзную славу ему принесла роль Бубы Касторского в культовом советском боевике «Неуловимые мстители». Он снялась более чем в двадцати картинах, его узнавали на улице, приглашали выступать перед трудовыми коллективами.
Но в 1973 году против него завели уголовное дело по статье о хищении крупных государственных денежных средств, вменяя ему в вину организацию нелегальных концертов и выступлений. Поговаривали, что однажды, по причине плохого самочувствия он отказался выступать на дне рождения какого-то высокопоставленного милицейского чиновника, и тот решил наказать «нерадивого актёришку».
Сичкина арестовали и несколько лет продержали в изоляторе под следствием. Его оправдывали и освободили лишь тогда, когда тот чиновник умер. Но карьера всё же была загублена– новых приглашений нет, а в старых кинолентах его имя уже везде убрали из титров.
Борис пытался восстановить свое доброе имя и направил жалобу на следователей, которые незаслуженно удерживали его почти три года в СИЗО. Но он не учёл, что советская система «своих не сдает». И теперь уже против его старшего сына заводят похожее уголовное дело. Понимая, что ему не победить этот порочный круг и чтобы сын не повторил его судьбу, Борис Михайлович через своего старого и верного поклонника в ЦК получает разрешение на выезд в США.
В 1979 году он с семьей пребыл в Нью-Йорк, чтобы остаться там уже навсегда. В Россию он приехал с визитом лишь в 1994 году.
Молодой водитель, который встречал его в Шереметьево, чтобы отвезти в гостиницу, позже рассказывал, что по дороге в центр Москвы он случайно в зеркало заднего вида заметил, что Борис Михайлович, сидя на заднем сидении и глядя в окно, беззвучно плакал. И на его вопросительный взгляд сказал: «Не обращайте внимания, юноша. Я просто уже не верил, что когда-нибудь всё это увижу наяву…»
Через восемь лет он скончался в Нью-Йорке в возрасте 79 лет. Позже урна с прахом актёра по его завещанию была доставлена в Москву и сегодня покоится на Ваганьковском кладбище.