Теория катастроф является математичекой теорией драматических или резких изменений прерывистых процессов, что называется катастрофой.
"Грохот землетрясения, либо критическая плотность популяции, ниже которой некоторые существа размножаются как кузнечики, а выше которой - подобно роящейся саранче...Клетка внезапно меняет свой репродуктивный ритм и начинает делиться, делиться, делиться - подобно раковой клетке" математики Тим Постон и Ян Стюарт "Теория катастроф и ее приложения"
В 1960-х годах французский математик Рене Том (1923-2) разработал математический инструмент, известный как теория катастроф.
Том использовал свою теорию для изучения и предсказания процессов, связанных с внезапными изменениями. Его идеи стали популярны среди математиков и ученых в различных областях в 1970-х годах. Однако теория катастроф иногда применялась к областям, выходящим за рамки ее компетенции, и по этой причине в конечном итоге она была несколько дискредитирована.
Сальвадор Дали написал картину "Топологическое похищение Европы. Дань уважения Рене Тому" (1983), на которой избражен сейсмический разлом ландшафта, а также записано уравнение, его описывающее.
Ученые установили, что в природе существует два основных типа процессов: непрерывные и прерывистые. Примером непрерывного процесса является повышение температуры газа при его нагревании. Поскольку одна переменная изменяется с постоянной скоростью (к газу добавляется тепло), вторая переменная также изменяется с постоянной скоростью (температура газа увеличивается). Поскольку непрерывные процессы являются «гладкими», их относительно легко предсказать. Раздел математики, используемый для изучения непрерывных процессов, называется исчислением и был разработан Исааком Ньютоном (1642–1727) и Готфридом Лейбницем (1646–1716) более 300 лет назад.
С другой стороны, прерывистые процессы являются «резкими», а не плавными. Примером прерывистого процесса является арочный мост, к которому добавляется все больший и больший вес. Поначалу заметен небольшой эффект, так как нагрузка на мост увеличивается — мост начинает почти незаметно изгибаться. Однако в определенный момент к мосту добавляется достаточный вес, чтобы он рухнул. Стабильное изменение одной переменной (веса моста) почти не приводит к изменению второй переменной (форма моста слегка искажается) с последующим внезапным изменением состояния (мост разрушается).
Внезапное изменение прерывистого процесса называется катастрофой. Катастрофы включают в себя внезапные бедствия, такие как обрушение моста или землетрясение, но они также включают в себя гораздо менее драматические события, такие как кипение воды. При медленном нагревании воды комнатной температуры она остается жидкой. Однако, как только вода достигает точки кипения , она внезапно начинает менять свое состояние с жидкого на газообразное. Другими словами, происходит катастрофа. Значения переменных, при которых происходит катастрофа, называются критическими переменными. Для катастрофы с кипящей водой имеется только одна переменная — температура, а множество критических переменных имеет только одно значение — 100°С. Однако в большинстве прерывистых процессов задействовано более одной переменной, и множество критических переменных может быть довольно большим.
Поскольку прерывистые процессы предполагают внезапные изменения, их обычно гораздо труднее предсказать, чем непрерывные процессы. В 1960-х Рене Том разработал способ изучения прерывистых процессов, который он назвал теорией катастроф. Том заинтересовался катастрофами, потому что надеялся применить математику к «неточной» науке биологии. (Биология и социология считаются неточными науками, потому что они связаны в основном с дискретными процессами.) Том представил свои идеи в двух книгах: «Структурная стабильность и морфогенез», которая была опубликована в 1972 году, и «Теория катастроф в биологии», вышедшая в 1979 году.
Разрабатывая свою теорию, Том собирал данные о переменных, связанных с внезапными изменениями. Когда он затем нанес эти данные на трехмерные графики, в результате получилась изогнутая поверхность, представляющая катастрофу в математической форме. Поэтому теория катастроф позволила математикам изучать не только числовые данные прерывистых процессов, но и визуальные данные в виде трехмерных фигур. По этой причине теория катастроф считается разделом геометрии.
Семь основных типов катастроф
Том показал, что хотя количество прерывистых процессов в природе практически бесконечно, графики этих процессов можно разделить на несколько основных форм. Для процессов с участием четырех переменных он обнаружил семь основных типов катастроф. Они названы в честь форм, образованных при графическом отображении их переменных: складка, выступ, ласточкин хвост, бабочка, волна, волосы и фонтан. Например, чтобы изобразить график складчатой катастрофы, представьте, что вы берете лист бумаги и сгибаете его в форме буквы C. Верхняя кривая C будет представлять одно устойчивое состояние, а нижняя половина C будет представляют собой второе устойчивое состояние. Катастрофа будет представлена скачком с верхней кривой на нижнюю или наоборот.
Конечная цель теории катастроф состояла в том, чтобы создать модель прерывистого процесса, которую затем можно было бы использовать для предсказаний. Во-первых, ученый выбирает переменные, связанные с изучаемым процессом. Например, для химического процесса такими переменными могут быть температура и концентрация реагентов. Далее ученый собирал как можно больше данных о влиянии различных комбинаций температуры и концентрации на процесс. С помощью сложных расчетов и компьютерного программного обеспечения ученый смог преобразовать данные в трехмерный график, который затем можно было использовать в качестве модели.
Одной из причин популярности теории катастроф была вера в то, что ее можно применить к любой отрасли науки. Некоторые надеялись, что она сыграет для неточных наук ту же роль, что математический анализ для более точных наук физики и химии.
Несмотря на первоначальное признание теории, в конечном итоге она стала спорной. Число переменных, участвующих в прерывистом процессе, должно быть небольшим, чтобы теория катастроф могла смоделировать его с какой-либо точностью. Однако в реальном мире, особенно в таких неточных науках, как биология и социология, такие условия встречаются редко. Одним из практических применений теории катастроф стало ее использование для моделирования эскалации военных действий между странами. В качестве переменных использовались угроза и стоимость. Утверждалось, что катастрофы — в данном случае внезапные атаки или капитуляция — могут произойти, когда и угроза, и цена будут высокими. Но в реальности, гораздо больше переменных вступает в игру, когда речь идет о реальных людях и реальных угрозах. Поэтому, теорию катастроф нельзя было использовать для реальных предсказаний хода военных операций.
Почти все биологические и социологические системы бесконечно более сложны, чем могут быть адекватно описаны теорией катастроф. Другими словами, их практически невозможно предсказать этим методом. Таким образом, теория катастроф оказалась наиболее полезной в точных науках - физике, технике и химии, несмотря на то, что Том изначально задумывал ее как инструмент для изучения неточных наук.
Спасибо за внимание!