Эта статья познакомит Вас с занятиями, которые запустят мыслительный процесс, над каким бы вопросом вы ни работали. Так что не надо пугаться вопроса из области математики и не стоит с тоской на лице смотреть на чистый лист бумаги. Пускаться во все тяжкие по первому пути, который взбредет на ум, в надежде, что грубая сила победит, тоже неумно с точки зрения тактики. Однако есть и продуктивные ходы.
Экспериментирование
Лучше всего начать с практики, например вот с такой задачки:
Склад
На складе вы получите 20%-ю скидку, но вам придется заплатить 15%-й налог с оборота. Как вы думаете, что лучше посчитать сначала — скидку или налог?
Как подступиться к такому вопросу? Для начала нужно точно понять, о чем вас спрашивают, но это может произойти не сразу, а только после некоторых усилий. Надеюсь, вам пришло в голову посчитать, что к чему для товара стоимостью, скажем, 100.
Приступайте, если еще не приступили!
Удивлены результатом? Большинство людей удивляются, и именно это удивление питает математическое мышление. А теперь посмотрим, таков же результат для товара стоимостью, скажем, 120?
Попробуйте и увидите!
Запишите ваши подсчеты и ваши соображения. Это единственный способ развивать мыслительные способности.
А теперь, можно с помощью калькулятора, решите оба примера. Вы преследуете сразу две цели: получить представление, какой может быть ответ, и в то же самое время получить ощущение, почему ваш ответ может быть правильным. Другими словами, решив примеры, вы наполните вопрос смыслом для себя и, может быть, начнете видеть скрытую модель для всех частных случаев, что и послужит ключом к окончательному решению вопроса. Какую же модель, или схему, может скрывать под собой этот вопрос? Может, у вас есть опыт решения подобных задач и вы знаете, что делать. Если так, то подумайте, как вы могли бы побудить кого-либо менее искушенного взяться за эту задачу, затем прочитайте мои предложения. Важно проработать все мои доводы, потому что именно там вводятся и иллюстрируются важные моменты математического мышления. Как окончательная цена зависит от порядка вычисления скидки и налога? В примерах, которые вы решили, должна прослеживаться схема. Если ее нет, то проверьте свои расчеты! А будет ли такой же результат для других цен? Если вы не уверены, попробуйте другие примеры. Когда будете уверены, ищите объяснение (или читайте ниже). пробуйте на других примерах, пока не будете уверены Многое зависит от формы, в которой вы делаете расчеты.
Обычная форма для скидки и последующего налога следующая:
подсчитайте скидку: для 100 скидка составляет 20,
вычтите ее из цены: 100 − 20 = 80,
подсчитайте налог: 15% от £80 — это £12,
добавьте налог и получите окончательную цену: £80 + £12 = £92.
Попробуйте найти другие способы подсчета, пока не найдете тот, что показывает, почему ваш результат всегда правильный. Например, вы хотите найти форму подсчета, которая не зависит от начальной цены. Чтобы сделать это, попробуйте посчитать, какой процент от исходной цены вы платите, когда налог уже вычтен и какой процент от исходной цены вы платите, когда добавлен налог.
Сделайте это прямо сейчас!
В любом случае вы узнаете, что:
(а) вычесть 20% из цены — все равно что заплатить 80%, т.е. вы платите 0,80 от цены;
(б) добавить 15% к цене — все равно что заплатить 115%, т.е. вы платите 1,15 от цены.
Затем для любой исходной цены, скажем, £100, посчитав сначала скидку:
вы платите 1,5 × (0,80 × 100),
сначала налог: вы платите 0,8 × (1,15 × 100).
Записав подсчет в такой форме, вы убедитесь, что порядок вычисления не имеет значения, потому что в итоге мы умножаем исходную цену на два числа в любом порядке. Если исходная цена P, то, посчитав сначала скидку: вы платите 1,5 × 0,80 × P, сначала налог: вы платите 0,8 × 1,15 × P, и они всегда равны.
Обратите внимание, сколь важно отстраниться от деталей подсчета и посмотреть на его форму или вид. Подобная мыслительная деятельность является основой для развития вашего математического мышления.
«Склад» иллюстрирует несколько важных аспектов математического мышления, на два из которых я хочу обратить ваше внимание. Во-первых, есть особые процессы, которые помогают математическому мышлению. В данном случае процесс, на который делается упор, — это экспериментирование, что подразумевает обращение к примерам, чтобы выяснить все про вопрос. Выбранные вами примеры особенные — в том смысле, что они представляют собой частные случаи более общей ситуации в самом вопросе. Во-вторых, если вы застряли, ничего сверхъестественного в этом нет и, как правило, можно найти тот или иной выход. В данном случае это экспериментирование. Это простой способ, использовать который может каждый, и, когда вопрос ставит людей в тупик, предложения типа А вы не пробовали на конкретном примере? и Что произойдет в этом отдельном случае? сталкивают их с мертвой точки.