Задачи на нахождение максимальных и минимальных значений считаются задачами повышенного уровня сложности. Однако, среди них немало тех, которые вполне по силам ученикам средних способностей, на которых и рассчитан мой канал. Рассмотрим одно из таких заданий, его номер на сайте ФИПИ 5117.
Как всегда, те, кому нужно чисто решение – могут сразу переходить к соответствующему разделу. Разделы «Рассуждаем» и «План решения» будут интересны тем, кто хочет понять, как мы пришли к этому решению
Напоминаю также, что Дзен не поддерживает формулы, и приходится использовать скриншоты из редактора. Я прикидываю, как решить этот вопрос. Пока желающие могут получить Word-версию статьи с решением в формате .DOCX с использованием стандартных формул. Обращайтесь в комментариях.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Найдите наибольшее значение функции:
на отрезке:
Рассуждаем
Все задачи на нахождение экстремальных значений функции сводятся к исследованию функции на заданном отрезке, нахождению стационарных точек функции и точек, где функция не существует (обращается в бесконечность).
Стационарные точки – это точки, где производная обращается в нуль. На графике функции это означает, что касательная к функции горизонтальна. Сам график функции в этой точке имеет либо «горб», либо «впадину». И эта точка может быть соответственно максимумом или минимумом:
Также необходимо проверить значение функции на краях отрезка, поскольку функция может не иметь экстремумов, изменяться монотонно, и в этом случае минимум или максимум функции будет соответствовать одному из концов исследуемого диапазона.
Таким образом, задача сводится к нахождению области определения функции и взятию производной.
Область определения натурального логарифма – положительные значения. Поскольку весь наш отрезок лежит в положительной области, следовательно, функция определена на нём полностью.
Остаётся вспомнить следующие правила взятия производных:
- Производная суммы;
- Производная сложной функции;
- Производная логарифма;
- Вынесение постоянного множителя за знак производной.
Находим производную, приравниваем нулю, получаем стационарные точки. Проверяем значение функции в этих точках и на концах отрезка. Наибольшее и будет ответом.
План решения
- Определим область определения.
- Найдём производную.
- Приравняем производную нулю, найдём стационарные точки.
- Проверим значение функции в стационарных точках и на концах отрезка.
Решение
Напомню, Дзен не приспособлен к отображению формул, поэтому я использую скриншоты из редактора.
Исходная функция:
Область определения : x > 0, исследуемый отрезок полностью входит в область определения.