Решим задание №4958 – несложное показательное уравнение. В ЕГЭ подобные задания дают немного баллов (как правило, два при полном решении), но именно их несложность и позволяет решать их в первую очередь, не волнуясь, что ошибёшься.
Как всегда, те, кому нужно чисто решение – могут сразу переходить к соответствующему разделу. Разделы «Рассуждаем» и «План решения» будут интересны тем, кто хочет понять, как мы пришли к этому решению
Напоминаю также, что Дзен плохо поддерживает формулы, и приходится использовать скриншоты из редактора. Я прикидываю, как решить этот вопрос. Пока желающие могут получить Word-версию статьи с решением в формате .DOCX с использованием стандартных формул. Обращайтесь в комментариях.
Задание
Найдите корень уравнения:
Рассуждаем.
Решение показательных уравнений чаще всего сводится к приведению обоих частей равенства к степеням с одинаковым основанием. После этого можно прологарифмировать обе части, либо (если возможно) ввиду однозначности логарифмической функции сделать вывод, что если степени равны, и основания равны – то и показатели будут равны. Далее происходит переход к равенству показателей, и решается обычное уравнение.
В данном случае необходимо заметить, что 9 - это 3 в квадрате. То есть, можно попытаться преобразовать правую часть уравнения так, чтобы основания степеней с обоих сторон были равны.
Однако, при этом в правой части степень окажется в степени. Надо будет вспомнить формулу «степень степени»:
После применения этой формулы – основания окажутся одинаковыми, и можно будет перейти к равенству показателей. Далее, поскольку в показателях находятся простые выражения – уравнение будет несложно решить.
План решения
- Представим правую часть в виде квадрата, при этом основания обоих частей окажутся равны.
- Применим формулу «степень степени»
- Перейдём от равенства степеней к равенству показателей.
- Решим простое линейное уравнение.
Решение
Исходное уравнение:
Начало и конец формулы равны, основания степеней равны, значит, вследствие однозначности степенной функции, можно перейти к равенству показателей: