Всем привет! Сегодня я решил рассказать Вам про решение уравнение из ЕГЭ по базовой математике. Мы разберём с Вами в этой статье все возможные виды уравнений на ЕГЭ по математике, и убедимся на примере, что уравнения из ЕГЭ — не проблема, а халявный балл!
Автор статьи: Артемий Ульянов
Дата выпуска: 07.05.2022
Уравнения со степенями
1-е уравнение.
Начать решение наших уравнений я решил с уравнений, в которых приходится работать со степенями. Рассмотрим следующее уравнение, и попробуем его решить.
На самом деле, уравнение довольно лёгкое. Стоит лишь вспомнить, какая степень «5-ки» может дать нам дробь «1/125». Ну конечно же, это степень «-3». Разложим на степень правую часть нашего уравнения, и получим следующий результат:
Как мы видим, уравнение стало выглядеть значительно проще. Многие из Вас подумают, что стоит перебросить правую часть выражения за знак «равно» со знаком «минус», но тогда нам станет неудобно работать с уравнением. Но вот если приглядеться, то мы можем заметить, что в правой и левой части у каждого члена уравнения одно и то же основание — «5». В таких случаях, мы можем хитро избавиться от наших оснований, и записать уравнение вот в таком виде:
Всё! Теперь нам стало сразу легче решать уравнение, и мы быстро нашли наш единственный корень x = -10. Давайте попробуем решить ещё пару таких уравнений.
2-е уравнение.
Рассмотрим следующее уравнение, и попробуем найти все его возможные корни:
Здесь ситуация уже чуть-чуть легче. Можно заметить, что число 81 — это «3» в «4-й степени». Тогда, мы разложим на степень правую часть нашего уравнения, и получим следующее:
Всё! Как мы видим, ситуация та же. У каждого члена уравнения одинаковое основание, поэтому мы можем от них избавиться, и сразу найти корни нашего уравнения.
И вот таким, простым способом, мы смогли с Вами решить первые два уравнения. Но вот не каждый сейчас понимает, почему когда одинаковые основания у каждого члена нашего уравнения, то мы можем просто от них избавиться? Давайте попробуем разобраться, составив небольшую схему таких уравнений.
Прологарифмируем обе части нашего уравнения, взяв за основание логарифма «a». Тогда, мы получим следующее уравнение:
Теперь в обеих частях нашего уравнения, вынесем по формуле степени «b» и «c» за знак логарифма, и получим следующее выражение:
А теперь, зная из основной формулы логарифмов, что логарифм «a» по основанию «a» равен «1», упростим наше выражение:
Всё! Теперь мы с Вами доказали, что в уравнениях такого типа можно безболезненно избавляться от оснований, просто прологарифмировав обе части уравнения.
Логарифмические уравнения
1-е уравнение
Раз уж мы с Вами заговорили про логарифмы, давайте попробуем решить различные типы логарифмических уравнений. Рассмотрим следующее уравнение:
Это — один из самых простых видов таких уравнений. Для решения такого уравнения, следует просто избавиться от логарифма по формуле, и таким образом мы без труда сможем найти все корни уравнения. Давайте же этим и займёмся!
Всё! Это было не так уж и сложно, мы с Вами легко справились с таким уравнением. Давайте рассмотрим пример чуть сложнее.
2-е уравнение
Рассмотрим более сложный тип логарифмический уравнений:
Данное уравнение можно решить единственным способом. Для этого, мы разложим логарифм левой части уравнения, и получим следующее выражение:
В левой части уравнения мы можем наблюдать произведение степеней. Воспользуемся этой формулой в обратную сторону, и получим следующее уравнение:
Всё, теперь мы смогли с вами упростить уравнение до вот такого вида. Далее, я предлагаю воспользоваться одной из формулой логарифмов и поменять значение нашего логарифма в левой части уравнения:
И теперь, мы спокойно можем избавиться от нашего логарифма в показатели степени левой части уравнения, ведь «25» — это «5» во «2-й степени». Тогда, мы получим следующее уравнение:
Всё! Уравнение решено, и у нас получился корень x = -4. Согласитесь, это было не так уж и сложно. А теперь давайте рассмотрим с вами самый тяжёлый случай логарифмических уравнений.
3-е уравнение
Напоследок я решил разобрать одно из самых сложных уравнений, до решения которого не так уж и легко догадаться. Рассмотрим следующее уравнение:
Да, это уравнение выглядит уже сложнее, чем два предыдущих… А всё из-за разных оснований логарифмов… Попробуем воспользоваться формулой перехода от одного основания к другому в правой части уравнения в обратную сторону, тогда мы получим следующее выражение:
Теперь мы имеем дело с одинаковыми основаниями, и нам не составит особого труда решить это уравнение. Для начала, умножим обе части уравнения на знаменатель дроби в правой части уравнения и перенесём со знаком «минус» логарифм в правой части уравнения, тогда мы получим следующее выражение:
А теперь попробуем вынести общий множитель за скобки, тогда мы получаем следующее уравнение:
Всё, теперь мы максимально упростили наше уравнение. Из курса «7-го» класса мы с Вами знаем, что произведение множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Случай с правой скобкой нет смысла затрагивать, так как там нет неизвестных, а вот случай с левой скобкой — вполне. Тогда, мы можем смело записать наше уравнение в следующем виде:
И теперь, у нас с Вами получилось максимально упростить наше выражение и мы вернулись к самому первому виду логарифмических уравнений, обсуждаемый нами ранее. Решим же его!
Всё! Мы нашли единственный корень нашего уравнения, x = -2. Это было не так уж и сложно, как мы с Вами думали.
Квадратные уравнения
1-е уравнение
Зачастую, в ЕГЭ по базовой математике вы можете встретить задание, где необходимо решить квадратное уравнение, поэтому это ещё один из самых важных типов уравнений, которые стоит научиться решать. Рассмотрим следующее уравнение:
Опытные ученические взгляды уже смогли разглядеть в этом уравнении формулу «разности квадратов». Давайте же раскроем эту формулу! Получаем следующее произведение скобок, равное нулю:
Произведение множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Наш множитель «5» точно не может быть равен нулю, а вот множитель «(2x + 5)» вполне может стать отличным множителем, равным нулю. Запишем наше видоизменённое уравнение:
Всё! Мы нашли с Вами наш единственный корень уравнения, x = —2.5. Это было не так уж и сложно.
2-е уравнение
Грех не рассмотреть самый стандартный вид квадратных уравнений. Запишем следующее уравнение и попытаемся его решить:
Решать такое уравнение можно по-разному, мы же воспользуемся дискриминантом, делённым на «4». Давайте же найдём корни нашего уравнения!
Всё! Мы с вами нашли все корни этого уравнения — [-3; 9]. Это было проще простого.
Уравнения с квадратным корнем
1-е уравнение
Последний тип уравнений, который мы сегодня с вами рассмотрим, так это типа уравнений с квадратным корнем. Запишем следующее уравнение:
Выглядит всё не так уж и страшно. Умножим обе части нашего уравнение на произведение наших знаменателей, чтобы полностью избавиться от них. Получаем следующее уравнение:
Всё, мы упростили наше уравнение до самого обыкновенного вида уравнений с квадратным корнем. Для того, чтобы найти наш «x» — достаточно просто возвести обе части уравнения в квадрат. Так мы и сделаем!
И теперь, мы с Вами получили наш единственный корень уравнения, x = 49. Это было элементарней элементарного.
2-е уравнение
Рассмотрим ещё один вид таких уравнений. Запишем следующее уравнение:
Здесь все ещё проще. Возведём обе части нашего уравнения в квадрат, и получим следующее:
Всё, мы сразу с Вами нашли единственный корень нашего уравнения, x = 3. И эта задача тоже не вызвала у нас никаких трудностей, как и все предыдущие. Вот мы с Вами и доказали, что уравнения из ЕГЭ по базовой математике — не такая уж и страшная вещь.
Итог занятия
Сегодня мы с Вами разобрали все основные типы уравнений, которые могут Вам встретиться на ЕГЭ по базовой математике, и мы убедились на личном опыте, что решать такие задания элементарно, если знать:
— Формулы сокращённого умножения
— Формулы по работе с логарифмами
— Формулы для нахождения корней квадратного уравнения
— Основные свойства степеней
А на этом у меня всё, спасибо Всем за сегодняшний урок, следите за нашими новостями в Telegram и на платформе Яндекс Дзен, пока-пока!