Задания с параметром считаются сложными. И это, действительно, так. Однако, среди таких заданий бывают и относительно простые, которые имеет смысл не игнорировать даже ученикам средних способностей. Рассмотрим пример такого умеренно сложного задания с развёрнутым ответом. Это задание №4933 с сайта ФИПИ.
Читатели, кому важно непосредственно решение - могут сразу смотреть соответствующий раздел. Разделы "Рассуждаем" и "План решения" будут полезны тем, кто хочет понять принцип решения и то, как мы к нему пришли.
Напоминаю также, что Дзен плохо поддерживает формулы, и приходится использовать скриншоты из редактора. Я прикидываю, как решить этот вопрос. Пока желающие могут получить Word-версию статьи с решением в формате .DOCX с использованием стандартных формул. Обращайтесь в комментариях.
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система неравенств:
имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].
Рассуждаем
Простота данной системы заключается в том, что параметр во всех трёх уравнениях имеет первую степень, и легко уединяется. Кроме того, рассматриваемый отрезок значений основной переменной x лежит полностью в положительной области. А значит, в преобразованиях мы, во-первых, можем делить на x, а во-вторых, при умножениях и делениях обоих частей неравенств знак не будет меняться. Область допустимых значений (ОДЗ) также легко определяется, и, что важно, она полностью включает рассматриваемый диапазон переменной x .
Следовательно, для решения представленной системы можно будет уединить параметр во всех трех неравенствах, чтобы получить его зависимость от основной переменной x. Затем, учитывая тот факт, что все представленные функции монотонны на нужном отрезке, будет достаточно решить каждое неравенство только для его концов. И, поскольку нас интересует хотя бы один корень, в качестве решения каждого неравенства взять объединение решений концов.
Затем, поскольку в системе должны выполняться все три неравенства, то в качестве решения системы необходимо взять пересечение решений каждого из неравенств.
Я специально выделил курсивом важные моменты (они важны еще и для задач теории вероятностей). Когда нам требуется хотя бы один корень - решением будет объединение; когда нам требуется одновременное выполнение - следует взять пересечение.
План решения
- Уединим параметр a во всех трёх неравенствах с помощью алгебраических преобразований.
- В каждом неравенстве определим границы изменения параметра, исходя из значений основной переменной x на концах заданного в условии отрезка .
- Найдём на числовой оси область пересечения решений всех трёх неравенств.
Решение
Имеем из условия:
Заметим, что область допустимых значений (ОДЗ) x-1≥0 полностью включает в себя рассматриваемый отрезок x = [3;4]. Поэтому далее при нахождении значений параметра её можно не учитывать.
Преобразуем каждое неравенство так, чтобы параметр был уединён. В первом неравенстве делим обе части на x (мы это можем сделать, потому что на рассматриваемом отрезке x ≠ 0). Второе неравенство оставляем «как есть», для удобства просто перепишем «наоборот». В третьем - алгебраическими преобразованиями найдём значение параметра:
Далее рассмотрим отрезок x = [3;4] и отметим, что на нем все три функции в правых частях неравенств монотонны. В таком случае достаточно найти границы допустимых областей для параметра на концах отрезка, и, учитывая, что нам нужен хотя бы один корень, взять объединение этих решений.
В системе все три неравенства должны выполняться одновременно. Поэтому необходимо найти пересечение всех трёх полученных диапазонов на числовой прямой:
Найдём пересечение: