Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Многие считают, что для проверки четности (нечетности) функции достаточно проверить условие f(-x)=f(x) (или, соответственно, f(-x)=-f(x)).
На самом деле, определения четной и нечетной функций содержат два пункта.
Функция у=f(x) называется четной, если
1) ее область определения симметрична относительно начала координат;
2) f(-x)=f(x).
Функция у=f(x) называется нечетной, если
1) ее область определения симметрична относительно начала координат;
2) f(-x)=-f(x).
Очень часто выполнение первого условия очевидно, поэтому многие про него постепенно забывают и перестают проверять.
Но вернемся к нашей задаче.
Найдем область определения.
Подлогарифмическое выражение должно быть положительным. Выполнение этого условия при x>0 и при x=0 очевидно.
Если же x<0, то первое слагаемое отрицательно, а второе положительно.
Для того, чтобы сумма была положительной, второе слагаемое (положительное) по модулю должно быть больше первого (отрицательного).
Это показывается достаточно просто (см., например, фото), но терять этот момент нельзя.
Итак, подлогарифмическое выражение положительно при любых значениях x. Т.е. область определения (вся числовая прямая) будет симметричной относительно начала координат.
Теперь проверим второе условие.
На этом этапе многие останавливаются и делают ошибочный вывод, что функция не является ни четной, ни нечетной.
На самом деле преобразования надо продолжить.
Умножим и тут же разделим подлогарифмическое выражение на выражение, сопряженное к нему.
Числитель свернем, используя формулу сокращенного умножения, а затем воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.
В итоге видим, что получилось выражение, противоположное заданному. Т. е. функция нечетна.
Задание полностью выполнили.
Кто хочет потренироваться исследовать функцию на четность / нечетность, заходите на мой телеграм-канал, проходите тесты по этой и другим темам Если будет интересно, подписывайтесь.
Другие статьи серии «Лайфаки для студентов»
О канале
#математика онлайн (лайфаки) #математика #высшая математика #задачи #задачи по математике #образование #репетитор #репетитор по математике #онлайн-обучение #репетитор онлайн