Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Лайфаки для студентов»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Напоминаю, что у меня появился телеграм-канал. Там другой формат и другие задачи. Приходите, смотрите, решайте, подписывайтесь, рассказывайте друзьям. Ссылка: https://t.me/solovieva_s_a_test_hm
А пока разберем не очень стандартную задачу.
Итак, надо определить, какие действительные значения могут принимать x и y.
Начнем с самого простого. Если x – натуральное число, то либо y=1, либо y=-1 (в зависимости от четности x).
Дальше рассмотрим случаи, когда x равно нулю и x – целое отрицательное число. Опять же видим, что y равно либо 1, либо -1.
Пусть теперь x – обыкновенная несократимая дробь (в противном случае ее просто сокращаем).
Для простоты сначала рассмотрим случай, когда x больше нуля, т.е. x =n/m, где n и m – натуральные числа.
Представим степень в виде корня.
Если m – четное и n – четное, то дробь можно сократить на 2.
Если m – четное, а n – нечетное, то корень не существует (в поле действительных чисел).
Если m – нечетное, то корень существует при любых значениях n.
Аналогичный результат получаем в случае отрицательных дробей.
Таким образом, мы получили, что x либо целое, либо может быть представлено в виде обыкновенной дроби, где числитель – целое число, а знаменатель – нечетное натуральное.
Зависимая переменная у во всех случаях принимает значения либо +1, либо -1.
Заметим, кстати, что при k=1 дробь n/(2k-1), будет равна n. Т.е. целые значения аргумента x – это частный случай.
Осталось самое трудное – понять, имеет ли смысл функция при иррациональных значениях x.
Между любыми двумя рациональными точками на числовой прямой (они могут находиться как угодно близко) содержится бесконечное (счетное) число рациональных точек.
Если говорить строгим научным языком, то это звучит так: «Множество рациональных чисел всюду плотно в множестве действительных чисел».
Применим это к нашему случаю.
Возьмем два любых значения x из области определения. Между ними находится бесконечное число других значений аргумента.
При этом значения y будут постоянно "прыгать" от 1 к -1 и обратно. Таких "прыжков" будет бесконечно много на любом отрезке. Т.е. построить график этой функции невозможно. А также невозможно определить значения в иррациональных точках.
Другими словами, никакие иррациональные значения x не входят в область определения.
Остается записать ответ.
Не забудьте подписаться на канал, если
Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Другие статьи серии «Лайфаки для студентов»
О канале
#математика онлайн (лайфаки) #математика #высшая математика #задачи #математические задачи #образование #репетитор #репетитор по математике #онлайн-обучение #репетитор онлайн