При решении тригонометрических заданий в ЕГЭ чаще всего требуются формулы приведения и формулы кратных углов. Если их помнить – то и задания повышенной сложности решаются достаточно легко. Рассмотрим одно из таких заданий, его номер на сайте ФИПИ №4117.
Напомню, поскольку Дзен плохо поддерживает формулы – я использую скриншоты из редактора. В дальнейшем для подписчиков планируется возможность получения решений в .DOCX формате. Пока – кому необходимо, делайте запросы в комментариях, я предоставлю файл. Дальше – что-нибудь придумаю.
И, как всегда, те, кому нужно чисто решение – могут сразу переходить к соответствующему разделу. Разделы «Рассуждаем» и «План решения» будут интересны тем, кто хочет понять, как мы пришли к этому решению
Общий список заданий, разобранных на канале, приведён здесь.
Задание
Решите уравнение:
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку:
Рассуждаем
Сразу обращает на себя внимание коэффициент 2 под знаком косинуса. Следовательно, без формулы косинуса двойного угла не обойтись. Надо либо все тригонометрические функции привести к двойному углу, либо преобразовать этот двойной угол к одинарному, чтобы под знаками тригонометрических формул стояли одинаковые значения.
Затем следует привести все получившиеся тригонометрические функции к одной, и выписать ответ по готовой формуле. После чего отобрать корни, входящие в указанный отрезок.
То есть, в данной задаче основную сложность представляют эти самые формулы кратных углов и приведения. Вспоминаем формулу косинуса двойного угла:
Тут же отмечаем, что в итоге имеем квадраты двух разных тригонометрических функций, а в условии у нас уже есть одна тригонометрическая функция в квадрате! При этом она имеет противоположный знак!
Это значит, что после подстановки по формуле двойного угла и приведения подобных – у нас в уравнении останется только одна тригонометрическая функция, ответ можно получить по готовой формуле. Даже формулы приведения не понадобятся.
Останется только отобрать корни.
План решения
- Преобразуем двойной угол к одинарному по формуле.
- Приведём подобные, сократив слагаемые с разным знаком.
- Преобразуем полученное уравнение так, чтобы с одной стороны была тригонометрическая функция, а с другой – её значение.
- Получим ответ по готовой формуле для этой тригонометрической функции.
- Отберём корни на указанном интервале.
Решение
Исходная формула:
Применяем формулу косинуса двойного угла:
Приводим подобные, а десятичную дробь преобразуем в обычную:
Извлекаем корень из обоих частей:
По готовой формуле:
Учитывая все знаки, получаем четыре группы корней:
Отбираем корни на указанном промежутке. Приведём промежуток к удобному виду (кратному одной шестой):
Весь промежуток находится в положительной области, следовательно, отбирать можно только для неотрицательных значений n :