«Уравнения с сюрпризом». Биквадратные уравнения, что это такое, и как их решать.

Всем привет! В предыдущей статье я Вам рассказывал про один из способов решения кубических уравнений, и мы с Вами убедились, что не такие уж они и страшные. Сегодня мы с Вами разберём ещё один тип уравнений, который называют биквадратными уравнениями.

Дата выпуска: 30.04.2022.

Автор статьи: Артемий Ульянов.

Алгоритм решения

Для начала обсудим с Вами, а как же выглядят эти «биквадратные уравнения». Общий вид биквадратных уравнений записывается, как ax⁴ + bx² + c = 0. Такие уравнения принято решать методом замены переменной. Для этого берётся некая переменная, пусть это будет «t», которая приравнивается как «x²», и получается следующее выражение.

Стандартная схема решения биквадратных уравнений.

Ничего не понятно? Давайте попробуем решить такие уравнения на примере, и всё сами поймём!

Примеры биквадратных уравнений.

Базовый уровень.

Начнём с самого простого! Давайте решим уравнение (x² — 8)² + 4(x² — 8) — 5 = 0. Начинать решение можно разными способами, мы же попытаемся раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Всё, у нас с вами получилось упростить наше уравнение до стандартного вида биквадратных уравнений! Заменим нашу переменную «x²» на «t» и найдём корни уравнения относительно «t».

Решение уравнения относительно переменной «t».

Отлично! Мы получили корни нашего уравнения 3 и 9. А теперь давайте решим наше уравнение относительно «x» по приведённой выше формуле, и найдём все корни уравнения.

Находим корни уравнения относительно «x». Ч-1.

Находим корни уравнения относительно «x». Ч-2.

Всё! И мы с вами получили корни нашего уравнения [3; -3; √3; -√3]. Согласитесь, это было не так уж и сложно. А теперь решим более сложный пример.

Сложный уровень.

Сложный уровень отличается от базового своей небольшой хитростью при нахождении корней уравнения. Попробуем решить уравнение x⁴ — 5x² — 36 = 0. Запишем его и попробуем заменить нашу переменную «x²» на «t».

Заменяем переменную в уравнении.

Отлично! Теперь, мы получили лёгкое квадратное уравнение относительно «t». Найдём и запишем все его возможные корни.

Находим корни уравнения относительно «t».

И мы получили наши корни, это -4 и 9. Но стойте, один из корней у нас отрицательный. Как же тогда поступить? Можно воспользоваться мнимыми числами, но, если вы их не знаете, ошибкой не будет, что вы запишите в ответ лишь два корня, вместо четырёх. А теперь, подставим наши значения и найдём наши корни уравнения относительно «x».

Находим корни уравнения относительно «x». Ч-1.

Находим корни уравнения относительно «x». Ч-2.

Вот и всё, уравнение решено! У нас получились корни [3; -3; 2i; -2i]. Последние два для любителей мнимых чисел.

Итог занятия

Биквадратные уравнения — не такая уж и страшная штука, если знать, как решаются обычные квадратные уравнения. Метод замены переменной помогает нам перейти от уравнения 4-й степени к уравнению 2-й степени, что значительно нам облегчает задачу. А на этом у меня всё, спасибо всем за сегодняшний урок, подписывайтесь на нас в Telegram и на платформе VK, а также следите за новостями нашей группы! Пока-пока.

VK: https://vk.com/mathscienceproject

Telegram: https://t.me/mathsciencechan