Всем привет! Наверняка, в вашей жизни уже наступал переломный момент, когда Вам приходилось решать кубические уравнения по алгебре, и скорее всего, «без слёз» не обошлось. Сегодня я научу вас решать кубические уравнения максимально лёгким и понятным способом. Погнали!
Автор статьи: Артемий Ульянов.
Дата выхода: 28.04.2022.
Алгоритм решения кубических уравнений
Самое главное в этой нелёгкой темы из раздела алгебры — это составить свой собственный алгоритм решения таких уравнений. В основном, математики прибегают к способу, когда кубическое уравнение преобразовывается к произведению выражений, равное нулю. Для этого математики используют методы различные методы группировки, формулы сокращённого умножения, и самое главное, правила вынесения общего множителя за скобки. По другому, такие уравнения, решить очень-очень трудно. Давайте же рассмотрим на примере решение таких уравнений.
Примеры кубических уравнений
Базовый уровень
В качестве самого простого примера, я взял следующее уравнение, оно является самым базовым уровнем, и я решил рассмотреть его прежде всего.
Как мы видим, здесь ситуация не такая уж и страшная. Даже на глаз можно определить, что пары x³ и x² ; -4x и -4, имеют общие множители x² и -4. Давайте-же сгруппируем наши пары и вынесем общий множитель за скобки!
Как мы видим, у нас появился новый общий множитель! И это (x + 1). Давайте вынесем его за скобки, и получим следующее произведение. И в конечном итоге получаем уравнение:
В нашем случае, во второй скобке у нас был квадрат разности, который мы раскрыли по формуле, чтобы нам было легче работать с уравнением. Что же делать дальше? Вполне очевидно, что произведение множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Значит, либо (x + 1) = 0, либо (x — 2) = 0, либо (x + 2) = 0. Рассмотрим по отдельности каждый из случаев и найдём все корни уравнения.
И на этом всё! Наше первое уравнение решено! Согласитесь, это было не так уж и сложно.
Сложный уровень
Не все кубические уравнения можно решить таким красивым способом. Рассмотрим на примере уравнение.
Как мы видим, здесь уже общих множителей у нас не наблюдается… Приплыли, называется… Для таких случаев используется приём «раскладывания числа», когда число раскладывают, чтобы сгруппировать компоненты и вынести за скобки общий множитель. В нашем случае, будет очень удобно разложить -5x² как -4x² — x², а 7x как 4x + 3x. Тогда мы получим следующее уравнение:
Как мы видим, это значительно нам облегчило ситуацию. Попробуем сгруппировать пары x³ и -x²; -4x² и 4x; 3x и -3. Тогда мы получим следующее уравнение:
И попробуем вынести из каждой скобки свой общий множитель.
Как мы видим, у нас получилось найти ещё один общий множитель, а именно (x — 1), но вот так беда, вторая скобка (-x + 1) нам «портит всю малину». Можно прибегнуть к одной математической хитрости, и вынести дополнительно минус за скобку. Тогда мы получим следующее уравнение:
Как мы видим, это помогло исправить нашу ситуацию! Теперь у нас есть общий множитель, (x — 1), вынесем же нашу «скобку за скобку». Получаем следующее уравнение:
Как мы видим, мы опять пришли к виду уравнения, когда произведение скобок равно нулю. Пользуясь правилом, о котором говорилось выше, найдём наши корни уравнения без особого труда.
Всё! Мы разнесли с вами это сложное кубическое уравнение, и в ответ мы с вами запишем два корня, 1 и 3.
Итог занятия
Кубические уравнения — не такие уж и сложные, если уметь выносить общий множитель за скобки, группировать компоненты и знать формулы сокращённого умножения. Надеюсь, что теперь вы не будете испытывать трудности при решении данных уравнений. А на этом у меня всё, спасибо за уделённое Вами время, всего доброго! Подписывайтесь на нас в VK и Telegram.
VK: https://vk.com/mathscienceproject
Telegram: https://t.me/mathsciencechan