Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия "Эксперимент"
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Продолжаю описывать результаты занятий в экспериментальной группе.
Продолжение. Начало: 1, 2, 3.
Сегодня разберем еще пару вопросов по заданию из сборника Демидовича, заданных Михаилом.
1) «Как решать?»
2) «Зачем так решать, если проще посчитать на калькуляторе?»
Подобные вопросы студенты задают достаточно часто, поэтому остановимся на них подробнее.
Ответ на первый вопрос
Для решения используем математический факт, который упрощенно можно сформулировать следующим образом:
Приращение функции примерно равно ее дифференциалу.
Точность приближения, конечно, тоже можно оценить, но при решении данного упражнения данная оценка нам не нужна.
Дальше вспоминаем, как расписывается дифференциал через частные производные.
Кроме того, на этом этапе перенесем f(x_0, y_0, z_0) в правую часть.
Подчеркнута та формула, которую будем использовать для выполнения задания.
Теперь перейдем непосредственно к примеру.
Видим произведение трех множителей, причем первый множитель присутствует в первой степени, второй – во второй степени и третий – в третьей степени.
Далее - сложный и важный этап решения.
Рассмотрим заданное произведение как значение функции трех переменных (при заданных значениях этих переменных).
Кроме того, заметим, что значения переменных x, y, z близки к числам 1, 2, 3 соответственно. Это позволяет нам рассмотреть точки (x, y, z) и (x_0, y_0, z_0), а также найти приращения аргументов.
Самое трудное позади.
Теперь все данные известны и можно приступить к вычислениям.
Найдем сначала значение функции в точке (x_0, y_0, z_0).
Теперь найдем частные производные и посчитаем их значения в точке (x_0, y_0, z_0).
Все необходимые значения нашли. Осталось подставить их в формулу (она подчеркнута).
Не забываем, что мы ищем приближенное значение, поэтому пишем знак «примерно равно».
Кстати, все последующие знаки – «равно», так как дальше идут уже точные вычисления.
Все. Приближенное значение выражения нашли. Кстати, если посчитать его на калькуляторе, то можно увидеть, что погрешность не превосходит 0,004.
Ответ на второй вопрос
Первое, что приходит на ум – традиция.
Действительно, до эпохи всеобщий компьютеризации многое приходилось считать вручную.
Но это не главная причина.
Чтобы разобраться в том, зачем этот способ современным студентам, сделаем небольшое отступление.
Многие знают, что большинство задач, которые решают не только в школе, но и в вузе, - это специально разработанные тренировочные упражнения.
Прикладные же задачи, в основном, точно не решаются, поэтому для них разрабатывают специальные методы приближенного решения, которые основаны на методах точного решения.
Для корректного использования методов приближенного решения должен быть теоретически (т.е. методами математики) доказан ряд фактов. В качестве примера приведем некоторые из них.
1) Доказательство существования точного решения. Бессмысленно искать приближение решения, если не известно, существует ли оно вообще.
2) Доказательство единственности решения (или оценка числа решений). Понятно, что до поиска приближенных решений надо знать, сколько их.
3) Разработка алгоритма нахождения приближенного решения. Способ вычислений должен быть понятен не только ученым-математикам, но и тем специалистам, которые будут его применять.
4) Оценка погрешности приближенного решения. Другими словами, оценка того, насколько приближенное решение отличается от точного.
Сюда же относится исследование влияния различных параметров на погрешность (простейший пример – влияние числа узлов в квадратурных формулах на их точность).
5) Доказательство устойчивости. Метод приближенного решения считают устойчивым, если небольшие изменения исходных данных незначительно влияют на результат вычислений.
Устойчивость метода является особо важным параметром, например, при изменении размеров проектируемого технического объекта по сравнению с предыдущими образцами.
Теперь можно снова вернуться ко второму вопросу.
Математический аппарат для решения перечисленных выше задач достаточно сложен (за очень редким исключением).
Те же приближенные вычисления, с которых мы начали сегодняшний разговор, удовлетворят всем необходимым критериям, теоретически обоснованы и, в то же время, достаточно просты даже для студентов младших курсов.
Т.е. в мире гаджетов эта формула нужна не для практических вычислений, а как подготовка к применению более сложных методов приближенного решения прикладных задач.
На этом пока все. Пишите в комментариях, с какими приближенными методами Вам приходилось сталкивались при решении практических задач.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Другие статьи серии "Эксперимент"
О канале
#математика онлайн (эксперимент) #математика #высшая математика #задачи #математические задачи #познавательное #образование за рубежом #экзамен #наука и образование #образование и наука