Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу отвлечься от темы бесконечности и решить вполне конкретную задачу, которая предлагалась в качестве олимпиадной в городе-государстве Сингапур. Посмотрим на её уровень. Поехали!
В задаче требуется найти количество пар целочисленных решений следующего уравнения:
Конечно, существует соблазн перенести размышления в геометрическую плоскость, однако я решил решать алгебраически! Запишем уравнение в виде квадратного относительно одной из переменных, в данном случае - y:
Поиск целочисленных решений как бы намекает нам, что дискриминант квадратного уравнения должен быть не только не отрицательным, но и полным квадратом. Давайте же оценим квадратный трехчлен, ветви которого на графике направлены вниз, что сулит хороший (конечный!) улов:
Таким образом, у нас есть вполне определенное множество целочисленных значений y, которые мы можем проверить:
Очевидно, что подходят только три, но и этого недостаточно, ведь и другая переменная должны быть целым. Проверяем:
Удивительным образом, "танцуют все!". В ответе получаем шесть пар решений. Спасибо за внимание!