Рассмотрим решение задания 10, подробно разобранное в Интернете.
Задание 10 № 508870
Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Решение. I способ.
Заметим, что поскольку в турнире участвуют 16 игроков, всего будет четыре тура, в каждом из которых будут играть 16, 8, 4 и 2 человека соответственно. Пусть событие A — Иван с Алексеем сыграли друг с другом в первом туре, событие B — они не сыграли друг с другом в первом туре, но выиграли свои игры в первом туре и встретились во втором, событие C — они не сыграли друг с другом в первом и втором туре, но выиграли свои игры в первом и втором туре и встретились в третьем, D — они не сыграли друг с другом в первом, втором и третьем туре, но выиграли свои игры в первом, втором и третьем туре и встретились в четвёртом.
Замечание. Специалисты по теории вероятностей, скорее всего, не одобрят третий способ решения задачи, заметив, что для определения вероятности встречи друзей мы число встреч поделили на число пар. Если бы выше это было написано, то это была бы существенная ошибка. Но мы написали, что делим число встреч, возможных после жеребьёвки, на число встреч, возможных до жеребьёвки, поэтому никакого нарушения нет. Если от специалистов по теории вероятностей поступит другое замечание, я обязательно его обнародую.
А пока, считая, что задание 10 не должно отнимать много времени на ЕГЭ, учитывая, что на экзамене учащиеся указывают только ответ, а не приводят обоснованное решение задачи, разрешим себе получать ответ наиболее простым способом — в три действия.
Задача про 10 игроков много сложнее, её решение хорошо разобрано здесь: https://vk.com/wall-129862347_99
Это решение очень полезно внимательно прослушать, постараться понять каждый его шаг, а на ЕГЭ можно получить тот же ответ в три действия.
Желаю успехов в подготовке к ЕГЭ и на экзамене.
Дополнение. Один из читателей прислал сообщение, из которого следует, что ответ к задачам про турниры определяется по формуле 2 : n, где n — число участников турнира. Давайте подтвердим этот результат, обобщив третий способ решения.
Пусть было n участников турнира. Тогда до жеребьёвки возможны встречи в любой из n * (n – 1) : 2 пар. Так как в турнире должны выбыть n – 1 участник, то после жеребьёвки возможны встречи в любой из n*(n – 1):2 пар. То есть у Ивана и Алексея имеется возможность встретиться в одной из n – 1 пар. Вероятность этой встречи равна (n – 1) : (n * (n – 1) : 2) = 2 : n.