Здравствуйте, Дорогие друзья! Мы продолжаем помогать готовиться к ЕГЭ нашим будущим коллегам по несчастью. Сегодня мы рассмотрим пятую задачу.
Называется эта задача «Стереометрия». Кто не понимает из названия, то мы переходим в 3Д. Давайте начнем рассматривать задачи.
Задача 5(1)
Объем куба ABCDHKNP равен 27. Найти его площадь.
Решение: Как всегда разберемся с тем, что у нас дано. Дан у нас куб, то есть все его грани имеют одинаковую площадь, и при этом, эти грани – квадраты. Объем в таком случае – это произведение площади основания на высоту: V=Sосн*выс. Теперь расписываем, что такое основание и что такое высота: основание – это квадрат ABCD. Высота – это одно из рёбер: АК, BN, CP или DH. Площадь основания – это произведение двух сторон основания AB*BC или BC*CD, в общем, обычная площадь прямоугольника. В нашем случае все стороны фигуры равны между собой, а произведение трёх из них равно27, например AB*BC*BN=27. Также, мы выяснили, что все стороны равны между собой, а значит мы можем записать V=AB*AB*AB=27. То есть
Находим длину стороны АВ. У нас степенное равенство, а значит, чтобы найти ответ, нужно взять корень:
Конечно же, для большинства учащихся 11 класса взять корень третьей степени не составит труда, но если кому нужны пояснения, то пишите в комментариях. Итак, мы нашли длину одной стороны. Находим площадь основания:
S=3*3=9. Общая площадь куба, которую нам нужно найти – это сумма площадей всех его граней. Всего у нас 8 граней. Площади всех граней одинаковые, они равны девяти, а значит нам достаточно умножить количество граней на площадь одной грани:
Sобщ=8*9=72
Готово, записываем ответ: 72.
Рассмотрим еще одну задачу.
Задача 5(2)
Диагональ куба равна корень из 27. Найти его объём.
Решение:
Для того, чтобы понять как решается наша задача нам нужно добавить на наш рисунок еще одну линию:
Теперь анализируем данные, которые у нас есть. У нас есть куб, значит все его стороны равны: AB=BC=CD=DA=A1B1=B1C1=C1D1=D1A1=AA1=BB1=CC1=DD1.
Диагональ куба – это гипотенуза прямоугольного треугольника BDD1. В этом треугольнике один катет – это сторона куба, а второй катет , BD – это диагональ одного из оснований (ABCD). Из прошлой задачи мы видим, что объем куба – это длина одной из сторон в кубе (тавтология рулит), ну или в третьей степени, чтобы не запутаться. Диагональ DB – это гипотенуза двух одинаковых прямоугольных треугольников ABD и BCD. Более того, эти треугольники еще и равнобедренные. То есть, для того, чтобы решить задачу, нам нужно найти один из катетов этих треугольников. Мы не можем найти численное значение этого катета, но мы можем выразить его через длину заданной нам диагонали куба. Для этого нам нужно выразить DB через DD1 и BD1. Ничего сложного, теорема Пифагора:
На один шаг мы стали ближе к решению. Теперь то же самое делаем для треугольника… пусть будет ABD.
Записываем ответ: V=27.
Ну а теперь то свойство, которое мы использовали при решении этой задачи: диагональ куба в корень из трёх раза больше, чем его сторона. То есть:
Запомните это выражение, с помощью него Вы существенно ускорите решение этой задачи. Ну а если даже Вы его забудете, то решайте задачку также как и сейчас: с помощью теоремы Пифагора.
Рассмотрим еще одну задачку.
Задача 5 (3)
Найти объём многогранника
Решение:
Это очень простая задача, но чем больше граней будет у фигуры, тем больше вероятность запутаться при её решении. Мысленно разбиваем многогранник на отдельные фигуры:
Часть синей фигуры «спрятана» за зеленой и оранжевой фигурами. Для того, чтобы решить задачу, нам нужно найти объёмы трёх параллелепипедов. Проще всего найти объём синего: для этого у нас есть и его длина, и высота, и ширина:
Vсин=6*4*8=192
Теперь найдём объём зеленого блока:
Ширина=6-4=2
Длина=6
Высота=8-4=4
Объём: Vзел=2*6*4=48
Для оранжевого блока также:
Длина=8-6=2
Ширина=4
Высота=8-4=4
Объём: Vоранж=2*4*4=32
Теперь просто складываем эти объёмы и находим общий:
V=Vсин +Vзел +Vоранж=192+48+32=232
Записываем ответ: 232.
С такими задачками Вы, думаю, справитесь на раз, поэтому идём дальше, еще одна пятая задачка.
Задача 5 (4)
Радиусы двух шаров равны 2 и 8. Найти радиус шара, площадь поверхности которого была бы равна сумме площадей поверхности этих шаров.
Решение:
Я специально закрасил шары, чтобы легче было с ними работать. Итак, у зеленого шара радиус равен 3, у желтого – четырем. Что такое площадь поверхности шара? Это площадь сферы. Что такое площадь сферы и как её получить? На рисунке у нас показаны диаметры наших сфер. Представьте, что у нас имеются оси, которые проходят точно через центры наших шаров, диаметры закреплены на этих осях и при повороте оси поворачивается и диаметр шара.
Сколько раз нам нужно повернуть диаметр вокруг оси шара, чтобы найти площадь сферы? Верно:0,5 раза. Или же разделить диаметр пополам и повернуть его один раз. То есть мы можем найти длину окружности, разделить её пополам и повернуть на 2пи (то есть сделать полный оборот на 360 градусов) или же мы можем найти длину окружности и просто повернуть её на пи.
Вспоминаем чему равна длина окружности: l=2*пи*R. Теперь смотрим на рисунок и видим, что сфера состоит из двух одинаковых полусфер. Так зачем искать площадь двух сразу, если можно найти площадь одной из них и умножить на два? Так и сделаем. При повороте нашей линии, относительно оси точки на её полюсах будут смещаться от 0 до R:
То есть мы пройдём расстояние R. Отсюда площадь полусферы:
Sполусф=l*R
Ну а для всей сферы, как уже договорились, умножим эту площадь на два:
Sсф=2*l*R=2*2*пи*R*R
И мы получили формулу из справочников для площади сферы:
Записываем ответ: 5.
Теперь запоминаем порядок, в котором мы выполняли эту задачу:
1) нашли площади сфер;
2) нашли сумму площадей;
3) нашли радиус новой сферы.
Ну… На сегодня, пожалуй, закончим. Сегодня мы с Вами проработали некоторые типы пятой задачи из ЕГЭ. Желаю, чтобы Вам попался в билете самый лёгкий тип. Спасибо, что читаете. Удачи в учебе и труде! Жду в гости на моём канале!