Он появился на свет в столице Югославии — городе Белграде. Родители будущего актёра были людьми эмоциональными — дважды женились и дважды разводились — и окончательно расстались, когда мальчику было всего шесть месяцев. Отец уехал в Германию, а вся забота о Милоше и его 16-летнем брате Михайло легла на плечи матери, которая работала учителем-дефектологом.
Михайло вскоре покинул родительский дом и посвятил себя служению в церкви, а впоследствии стал игуменом монастыря. Милош рос с матерью, а самым ярким воспоминанием его детства стали бомбёжки Белграда во время Косовской войны, когда он был вынужден прятаться в бомбоубежище. Много лет спустя этот страшный опыт пригодился ему на съёмках фильма «Балканский рубеж».
С детства он был артистичным ребёнком, занимался в театральной студии, а уже в 13 лет получил первую работу — стал ведущим детской телепередачи. После школы Милош не раздумывая подал документы в Белградский университет искусств на актёрский факультет. Уже на втором курсе талантливый студент начал сниматься в сербских сериалах, а прорывной для него стала роль легендарного югославского футболиста Александра Тирнанича в историческом фильме «Монтевидео: Божественное видение».
Эта картина имела успех и была представлена в России в рамках Московского международного кинофестиваля. В составе сербской делегации Милош прибыл в столицу с презентацией фильма и познакомился с Никитой Михалковым, картинами которого восхищался с детства. Вернувшись на родину, Бикович решил попытать счастья и написал своему новому знакомому письмо с предложением о сотрудничестве. А уже спустя пару месяцев получил ответ: Михалков приглашал его на роль Коки в новой драме «Солнечный удар».
С тех пор сербским актёром всерьёз заинтересовались российские режиссёры. Милош появился в фильме «Духless 2», сыграл избалованного наследника в сериале «Отель Элеон», юнкера кавалерийского училища в «Крыльях Империи», фигуриста в спортивной драме «Лёд», мажора Гришу в самом кассовом отечественном фильме «Холоп» и даже перевоплотился в Муслима Магомаева в биографическом сериале. Несмотря на то, что Бикович свободно владеет русским языком, до конца избавиться от сербского акцента ему не удалось, так что в большинстве картин его переозвучили.
Харизматичный актёр никогда не был обделён женским вниманием и с лёгкостью покорял сердца красавиц. Его первой любовью стала сербская актриса Бранкица Себастьянович — они вместе появились в фильме «Когда любовь опаздывает» и закрепили за собой звание самой красивой пары Сербии. Актёры во всеуслышание заявляли, что их любовь — чисто платоническая: оба они выросла в традициях православной семьи и из религиозных соображений решили не сближаться до венчания. Как бы там ни было, до свадьбы дело так и не дошло — Милош и Бранкица расстались спустя четыре года.
Громкий роман случился у Милоша с российской топ-моделью Сашей Лусс, известной по главной роли в фильме Люка Бессона «Анна», однако отношения не продлились и года.
На съёмках фильма «Лёд» у Биковича завязался роман с партнёршей по площадке Аглаей Тарасовой — актёры были вместе чуть больше года после премьеры, но в результате расстались. А многие зрители даже заподозрили пару в имитации любви ради пиара картины.
В одиночестве Милош оставался недолго. Вскоре после очередного расставания он начал встречаться с сербской моделью Барбарой Таталович, с которой познакомился на съёмках комедии «Отель „Белград“». Но и со своей соотечественницей Бикович не смог остаться больше, чем на полтора года.
Новой возлюбленной актёра стала российская чемпионка по бальным танцам Арина Волошина. Отношения продлились около года и закончились громким скандалом: Арина в соцсетях обвинила актёра в эгоцентризме, лицемерии и ханжестве. Сегодня Милош Бикович снова свободен. В 2021 году сербский актёр получил российское гражданство и теперь по праву считается одним из самых завидных женихов нашей страны.