Здравствуйте, уважаемые читатели Дзен!
Для тех кто не читал предыдущие статьи напомним вкратце их содержание.
В первой статье До экзаменов по математике и физике осталось три месяца. Основные знания уже получены. Но как показывает статистика на «Решу ЕГЭ» баллов за вариант набирают меньше, чем в прошлом году.
Самый простой способ значительно поднять баллы — не делать ошибок, на которых можно потерять от 5 до 10, а в некоторых случаях и до 25 баллов. При этом ученик знал материал и решал подобные задачи.
Первый источник ошибок — совершение математических действий «в голове».
Правило, выполнение которого значительно снижает количество ошибок: количество действий должно быть не более, чем количество записей, отражающих данные действия.
Запись действия, позволяющая избежать ошибки в получении результата можно назвать «полной записью». Такая запись индивидуальна.
Отметим, что указанное выше правило давно известно в других профессиях, например: «семь раз отмерь — один раз отрежь»,
«Полная запись» - это инструмент контроля за осуществляемыми действиями, поэтому ее использование или не использование определяется условиями, в которых происходит действие.
Обычно, при решение задачи не используется «полная запись» по следующим причинам:
- действия привычные и выполняются в уме ;
- действия настолько простые, что выполняются по памяти ;
- наметил действие и забыл его выполнить ;
- мало времени для подробного изложения ;
в самой математике предусмотрена сокращенная запись. Например: в записи -(2-а) не предусмотрена «полная запись»
-1×(2 + (-а)).
Во второй статье. Свыше 70 % всех ошибок — потеря знака «-». Если Вы увидели или почувствовали, что «что- то пошло не так», прежде всего пробегитесь вверх по уже совершенным действиям и посмотрите: все ли действия со знаком «-» были совершены правильно. Обычно ошибка таиться при:
1 .раскрытии скобок.
Вид ошибки: - ( 2 - а ) = - 2 - а
Умножение выражения в скобках на на выражение в скобках
Вид ошибки: «квадрат разницы»
( х - у )^2 = х^2 - у^2
2 .«Перенос» числа или неизвестного через знак «=»
Вид ошибки: 2 + х = 3 ;
х = 5
Ошибки при использовании различных формул, т. к. формула — это обращение к памяти, то лучше сначала ее написать, а затем применить. Такой повтор значительно уменьшает вероятность ошибок, так как четко отделяет работу памяти и работу внимания.
В данной статье, остановимся на «полной записи» для уменьшения количества ошибок при действиях с дробями. Самые распространенные ошибки появляются при выполнении действий :
1. Сокращение Рассмотрим как обычно выглядит такая ошибка (все примеры взяты из репетиторской практики).
Вид ошибки 7 / 35= ¼
Конечно, можно произвести проверку и убедиться, что ¼ ×35 не равно 7. Такая проверка обычно производиться тогда, когда только начинают изучать тему «Сокращение дробей».Проверять каждое простое арифметическое действие во время решения сложной задачи — не реально. Поэтому можно проверку представить элементом полной записи:
7 / 35 = 7/ (7×5) = 1/5. При такой записи числа «35» сокращение «7» очевидно, т.к число «7» представлено в явном виде как в знаменателе, так и в числителе. Проверка 5×7=35 встроена в саму запись знаменателя. Кроме того, делить 35 на 7 менее привычно, чем умножать 5 на 7.
Вид ошибки (2 + 7 )/2 = 7.
В голове ученика мелькает « 2 в числителе и 2 в знаменателе, значит их можно «убрать» ( «уничтожить», « зачеркнуть» и т. д.) Соответственно проверки не производиться. Данная ошибка связана с тем, что в школе математика обычно изучается как набор правил и алгоритмов , при формулировке которых используются слова, отражающие действия с «предметами», а не «числами» ( перенести, перевернуть, взаимоуничтожаются и.т.д.). Ученику не предлагается простроить межпредметную связь с русским языком и задуматься над составом слова «сокращение». Действительно, данное слово является однокоренным со словом «кратность». Приставка «со-», означает то, что в числителе и в знаменателе представлены числа, кратные одному и тому же числу. Т.е. буквальное прочтение слова «сокращение» дает понимание, что делать — выделять в числителе и знаменателе одинаковые сомножители, которые при делении друг на друга дают «1». Полученную «1» не пишут ( «опускают» ). Поэтому внешне получается «уничтожение» одинаковых чисел в числителе и знаменателе. А правило сокращения формулируется с использованием термина «зачеркнуть». Т.о. основа ошибки при «сокращении» состоит в том, что ученик замечает только одинаковые числа ( выражения). Однако, требуется еще обратить внимание на знаки, которыми сокращаемые числа ( выражения) связаны с другими числами ( выражениями ), стоящими в числителе и в знаменателе.Попутно заметим, что в арифметике внимание обычно фиксируется на числах.В алгебре — на арифметических операциях . Переход от арифметики к алгебре сопровождается в частности, переключением внимания с числа на его представление : разложенного на сомножители, в сумму по десятичным разрядам и т. д. При таком подходе вычисления, присущие арифметике заменяются преобразованиями по выявлению сокращений, приведений подобных и т. д .Все алгебраическое выражение начинает видеться целиком и комбинируется заново, в зависимости от представлений самих слагаемых. Самый известный пример из школьной программы: сумма членов арифметической прогрессии, в которой слагаемые устроены так, что при соответствующей их группировке будет получаться одно и то же число — сумма крайних ее членов.Если такое переключение внимания не произошло вовремя, теряется понимание сути предмета. Как следствие — усталость, потеря интереса к занятиям вообще.
Вид ошибки :((a^2 – b^2) / (a^2 – ab)) / (a + b ) = ((- b^2 ) /( – ab))/ (a + b)= = (b / a) / (a + b )
В голове ученика во время совершения данной ошибки мелькает: «a^2» в числителе и знаменателе — уничтожаем». Осознание им ошибки состоит в обращения его внимания на знак «-», которым «a^2» связан с «b^2» в числители. Исправление ошибки состоит в понимании им необходимости разложения числителя и знаменателя на сомножители в явном виде. В данном случае : в числителе : (a^2 – b^2) = (a + b ) × (a -b ), в знаменателе : (a^2 – ab) = a(a -b ). Тогда сокращению подлежит (a - b) Т.о. полная запись получается через внесение в запись решения подобных задач фазы выделения сомножителя как в числителе, так и в знаменателе в явном виде, т. е. в виде записи.Заметим, что ошибка совершается в результате «пропущенной записи», которая затем пополняет «полную запись», используемая при решении подобных задач именно этим учеником. В некотором смысле « полная запись» - «алгоритм», которого должен некоторое время придерживаться ученик, что бы не делать «досадных» ошибок. Но «алгоритм» относиться к последовательности значимых для задачи действий, а «полная запись» - к последовательности значимых для ученика записей этих действий.
2. Сложение (вычитание)дробей:
Вид ошибки : ½ + 1/3 = 1/5.
Рассуждение ученика : « если в числителях стоят одинаковые числа, то это числа записываем в числитель суммы, а в знаменателе пишем сумму чисел, стоящих в знаменателях.»Вид ошибки : ½ + 1/3 = 2/5. Рассуждения ученика : « числа, стоящие в числителях и знаменателях складываем».Оба вида ошибок происходят от того, что ученики действуют, использую память и правила. Попробуем «увидеть» как складываются дроби.Заметим, что складывать мы можем только целые числа. Все остальные складываются, умножаются, делятся с использованием соответствующих свойств ( свойства корней, логарифмов и т. д. ). Так сложение дробей возможно становиться лишь тогда, когда дроби приводятся к общему знаменателю. Знаменатель дает ту «единицу», которая позволяет на сложение двух дробей посмотреть как на сложение целых чисел. Действительно : « одна пятая прибавить две пятых равно три пятых». Данная фраза несет дополнительную очевидность, когда голос делает упор на «одна» и «две». При этом «пятая» понимается как то, что складывается нечто, относящееся к одному роду . Как, например, «одна морковка плюс две морковки», но не « одна морковка плюс две капусты». Такое «видение» сложение дробей позволяет усилить интуитивное противление арифметическим ошибкам.Итак, полная запись при сложении дробей — указание числа ( выражения) на которое домножается дробь. При этом дополнительный сомножитель можно указывать в виде, предлагаемом в школе — (½) \ 3 и (1/3) \ 2, а можно в виде (1/2)× (3/3) и (1/3)×(2/2). Последняя запись особенно удобна при работе с длинными буквенными выражениями.
3. Деление дробей. Самая распространенная ошибка — забыть «перевернуть дробь» при замене операции «деление» на операцию»умножение».Избежать данную ошибку можно через «ожидаемое действие». Примеры в школе и на экзаменах устроены так, обязательно что то должно сократиться. Поэтому, если ничего не сокращается, нужно обратить внимание на то, «перевернул ли дробь».Полная запись может быть представлена заменой «переворота всей дроби сразу» на последовательное выполнение деления на числитель и умножения на знаменатель. Действительно, деление числа на число ассоциируется с дробью на интуитивном уровне, поэтому числитель делимой дроби точно «пойдет вниз», значит знаменателю делимой дроби ничего не останется как «пойти вверх».
Подписывайтесь на канал, чтобы не пропустить очередные публикации, из которых Вы узнаете за счет чего можно быстро повысить итоговый балл. Постараюсь выпустить эти статьи в самое ближайшее время.
До новых встреч, пользуйтесь советами и не делайте «досадных ошибок».