Это продолжение курса лекций по нелинейным электрическим цепям. Первая часть расположена здесь:
Видеолекция расположена по ссылке:
Электрическое состояние нелинейных цепей описывается на основании законов Кирхгофа, которые имеют общий характер. В общем случае при анализе нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена графическими, аналитическими либо численными (итерационными) методами.
Графические методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока
При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. До проведения расчета нелинейной цепи должны быть известны вольт-амперные характеристики (ВАХ) нелинейных резисторов (НР), входящих в схему.
Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями. С линейной частью цепи можно предварительно осуществлять эквивалентные преобразования.
Сущность графических методов расчета нелинейной цепи с последовательными и параллельными элементами сводится к графическим преобразованиям характеристик линейных и нелинейных элементов цепи в соответствии с законами Кирхгофа.
Общий подход к решению задач графическими методами следующий: характеристики всех ветвей цепи записываются как функция одного общего аргумента, а далее система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным.
Преимущества этих методов: простые и наглядные.
Недостатки: повышение трудоемкости и снижение точности при расчете сложной цепи.
Графические методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока для последовательного соединения НР
Рассмотрим графические методы для последовательного соединения НР на примере электрической цепи (ЭЦ) с последовательно соединенными нелинейным и линейным резисторами. Следует напомнить, что задача анализа для ЭЦ сводится к нахождению токов во всех ветвях ЭЦ.
Метод 1 - по результирующей ВАХ пассивной части схемы
Сущность метода заключается в построении результирующей ВАХ для пассивной части цепи с последующим нахождением рабочей точки по известному значению входного напряжения.
При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы.
Входное напряжение на основании второго закона Кирхгофа складывается из напряжений на отдельных НЭ. В рассматриваемой цепи E = Uнр +Ur. Поэтому для построения результирующей ВАХ нужно для нескольких фиксированных значений тока суммировать напряжения на нелинейном и линейном элементах. Чем больше точек будет получено, тем точнее результирующая ВАХ (синяя кривая на рис. 2).
По заданному значению входного ЭДС находим рабочую точку на результирующей ВАХ (см. рис. 2) и соответствующее ей значение тока. По полученному значению тока при необходимости можно отыскать напряжения на отдельных элементах Uнр и Ur.
Метод 2 - метод пересечений
Сущность метода заключается в отыскании рабочей точки на пересечении ВАХ одного элемента с зеркальным отображением ВАХ другого элемента. Результирующую ВАХ строить нет необходимости.
Рассмотрим решение этим методом на примере ЭЦ, представленной на рисунке 1. Ток в цепи один, поэтому Iнр = Ir = I . Строим график I (Uнр). На основании второго закона Кирхгофа в рабочей точке напряжение нелинейного резистора Uнр(I) = E − I*R. Построим график I в функции (E − I*R ), который является зеркальным отображением графика I(Uнр), смещенного вправо на величину ЭДС (фактически это уравнение прямой, проходящей через точки I=E/R при U=Uнр=0; и Uнр= U = E при I = 0. Тангенс угла ее наклона к вертикали αравен R). Графики пересекаются в рабочей точке, для которой находим рабочий ток, и при необходимости, напряжения на элементах.
Аналогично метод пересечений применяется для двух нелинейных элементов.
Ток в цепи одинаковый для всех элементов. Строим зависимость I (Uнр1) . В рабочей точке на основании второго закона Кирхгофа напряжение Uнр1 = E − Uнр2 . Построим график I(E − Uнр2), который является зеркальным отображением графика I(Uнр2), смещенного вправо на величину входного ЭДС E . Очевидно, что графики пересекаются в рабочей точке. Находим соответствующие ей значения тока I и напряжений Uнр1 и Uнр2.
Графический метод расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока для параллельного соединения НР
При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам.
Так как при параллельном соединении напряжения на элементах одинаковы и равны входному U, то на ВАХ отдельных элементов находим токи I1 и I2 . Входной ток на основании первого закона Кирхгофа равен сумме токов в пассивных ветвях: I = I1 + I2. Для нахождения входного тока необходимо построить результирующую ВАХ для параллельного соединения - для нескольких фиксированных значений напряжений отметить точки для которых I = I1 + I2 и затем их аппроксимировать (красная кривая на рисунке 6).
Определение напряжения и токов в ветвях цепи при заданном значении входного тока производится графически, как изображено на рисунке 6. Заданное значение тока I откладываем на оси ординат и через полученную точку проводим горизонталь до пересечения с результирующей ВАХ. Абсцисса этой точки равна искомому напряжению. Для полученного значения напряжения находим графически токи в ветвях с НР.
Графический метод расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока для параллельного соединения НР
При смешанном соединении решение осуществляется методом эквивалентных преобразований. Рассмотрим на примере ЭЦ, приведённой на рисунке 7.
Например, требуется определить все токи, если задано входное напряжение и ВАХ отдельных элементов: I3(U3), I2 (U23), I1(U23).
Решение заключается в постепенном построении результирующих ВАХ. Очевидно, что сначала нужно построить результирующую ВАХ для параллельного участка (для ряда значений напряжения U23 суммировать токи I1 и I2). После этого схема превратится в последовательное соединение НЭ1 и эквивалентного элемента с ВАХ I3(U23), так как I1 + I3 = I3. Затем нужно построить результирующую ВАХ всей схемы, для чего можно использовать например метод пересечений.
Таким образом, для ЭЦ рис. 7 исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов (кривая 1+2). Далее применяем метод пересечений для двух последовательно соединенных резистивных элементов (на рисунке 2 кривые 3’ и кривая 1+2). На основании графических построений определяются токи в исходных параллельных ветвях.
Метод двух узлов
Метод двух узлов, как и следует из названия, позволяет определять токи в нелинейной ЭЦ с двумя узлами. Суть метода заключается в следующем: Строятся графики зависимостей токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения между узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке. Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа. Соответствующие данной точке токи являются решением задачи.
Рассмотрим метод на примере изображенной на рисунке 9 схемы.
1.Выберем положительное направление токов. Для выбранного на рисунке направления I1 + I2 + I3 = 0.
2.Выразим все токи в функции одного переменного: Uab. Для этого выразим напряжения на НР через ЭДС и напряжения между узлами (см. рис. 10).
3. Каждый из токов является нелинейной функцией от напряжения на своем НР → возникает задача, как перестроить кривую Ii=f(Ui) в кривую Ii=f(Uab). Для построения графика I1=f(Uab) исходная кривая смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС в 1-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке (рис. 11). Аналогичные построения делаем для остальных кривых.
4. Строим кривую I1 + I2 + I3 = f(Uab), просуммировав ординаты кривых 1, 2 и 3 (см. рис. 12).
5. Определяем, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа (точка m пересечения кривой 4 с осью абсцисс). Соответствующие данной точке токи являются решением задачи (ординаты точек пересечения перпендикуляра с кривыми 1, 2 и 3 дадут соответственно токи I1, I2 и I3).
Следующая часть лекций по нелинейным цепям будет посвящена использованию метода эквивалентного генератора для нелинейных ЭЦ постоянного тока.
Подписывайтесь на канал!
Третья часть расположена по ссылке: